Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB,

Câu hỏi số 548606:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ thoả mãn \(\dfrac{{AB}}{{AB'}} + \dfrac{{AC}}{{AC'}} + \dfrac{{AD}}{{AD'}} = 8\). Khi tứ diện AB’C’D’ có thể tích nhỏ nhất mặt phẳng \(\left( {B'C'D'} \right)\) có phương trình dạng \(6x + my + nz + p = 0\)\(\left( {m,n,p \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \({m^2} - n - p\).

A. 3

B. -3

C. 7

D. -7

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548606

Phương pháp giải

- Sử dụng tỉ số thể tích Simpson \(\dfrac{{{V_{ABCD}}}}{{{V_{AB'C'D'}}}} = \dfrac{{AB}}{{AB'}}.\dfrac{{AC}}{{AC'}}.\dfrac{{AD}}{{AD'}}\).

- Áp dụng BĐT Cô-si: \(abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\) (a, b, c > 0). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = C.

- Chứng minh V_{AB’C’D’} nhỏ nhất khi (BCD) // (B’C’D’), tìm tỉ số \(\dfrac{{AB'}}{{AB}}\), từ đó tìm tọa độ điểm B’, VTPT của (B’C’D’) và viết phương trình mặt phẳng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{ABCD}}}}{{{V_{AB'C'D'}}}} = \dfrac{{AB}}{{AB'}}.\dfrac{{AC}}{{AC'}}.\dfrac{{AD}}{{AD'}} \le {\left( {\dfrac{{\dfrac{{AB}}{{AB'}} + \dfrac{{AC}}{{AC'}} + \dfrac{{AD}}{{AD'}}}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{512}}{{27}}\\ \Rightarrow {V_{AB'C'D'}} \ge \dfrac{{27}}{{512}}{V_{ABCD}}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{{AB}}{{AB'}} = \dfrac{{AC}}{{AC'}} = \dfrac{{AD}}{{AD'}} = \dfrac{8}{3}\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {B'C'D'} \right)//\left( {BCD} \right)\\\overrightarrow {AB'} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow {AB} \end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 3;3} \right)\\\overrightarrow {BD} = \left( {2;4; - 6} \right)\end{array} \right.\, \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {B'C'D'} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {6;0;2} \right)\).

Tiếp tục có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB'} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow {AB} \, = \left( {\dfrac{3}{8};\dfrac{3}{8};\dfrac{3}{8}} \right) \Rightarrow B'\left( {\dfrac{{11}}{8};\dfrac{3}{8}; - \dfrac{{13}}{8}} \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {B'C'D'} \right)\) là

\(6\left( {x - \dfrac{{11}}{8}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{{13}}{8}} \right) = 0\, \Leftrightarrow \,6x + 2z - 5 = 0\)

Vậy \(m = 0,\,\,n = 2,\,\,p = - 5\, \Rightarrow {m^2} - n - p = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.