Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi. Biết đường cao \(AA' = 5cm\), các

Câu hỏi số 549925:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi. Biết đường cao \(AA' = 5cm\), các đường chéo \(AC' = 15cm,DB' = 9cm\). Tính độ dài cạnh \(AB\) và thể tích lăng trụ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549925

Phương pháp giải

Hình lăng trụ đứng có \(p\) là chu vi đáy, \(h\) là chiều cao, \({S_d}\) là diện tích đáy

Thể tích : \(V = {S_d}.h\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\), ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2} = 64 \Rightarrow AB = 8cm\)

Giải chi tiết

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)\(\)

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là lăng trụ đứng (gt) \( \Rightarrow CC' \bot \left( {ABCD} \right)\)

Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CC' \bot AC \Rightarrow \Delta ACC'\) vuông tại \(C\).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(ACC'\) vuông tại \(C\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = AC{'^2} - CC{'^2} = {15^2} - {5^2} = 200\\ \Rightarrow AC = 10\sqrt 2 cm\\ \Rightarrow OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{10\sqrt 2 }}{2} = 5\sqrt 2 cm\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta tính được: \(BD = 2\sqrt {14} cm \Rightarrow OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{2\sqrt {14} }}{2} = \sqrt {14} cm\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi (gt)\( \Rightarrow AC \bot BD\) (tính chất hình thoi) hay \(AO \bot OB \Rightarrow \Delta AOB\) vuông tại \(O\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\), ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt {14} } \right)^2} = 64\\ \Rightarrow AB = 8cm\end{array}\)

Thể tích lăng trụ là: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \dfrac{1}{2}.AC.BD.AA' = \dfrac{1}{2}.5\sqrt 2 .\sqrt {14} .5 = 25\sqrt 7 c{m^3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link