Cho hình chóp cụt đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông. Gọi \(M,\;N\) theo thứ tự là trung

Câu hỏi số 549926:

Vận dụng

Cho hình chóp cụt đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình vuông. Gọi \(M,\;N\) theo thứ tự là trung điểm \(BC,\;B'C'\). Biết \(AB = 4cm,\;A'B' = 8cm,\;MN = 4cm\).

a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt đều.

b) Tính chiều cao hình chóp cụt

c) Lắp một hình chóp đều có độ dài đáy bằng độ dài đáy nhỏ hình chóp cụt. Biệt cạnh bên hình chóp đều là \(2\sqrt 5 cm\). Hãy tính thể tích của hình chóp đều mới sau khi lắp ghép.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549926

Phương pháp giải

a) Hình chóp cụt đều \(p,p'\) là nửa chu vi các đáy, \(d\) là trung đoạn, \({S_d},{S_{d'}}\) là diện tích các đáy.

+ Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = \left( {p + p'} \right).d\)

+ Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} + {S_{d'}}\)

b) \(\left. \begin{array}{l}OO' \bot OM\\OO' \bot O'H\\MH \bot OH\end{array} \right\} \Rightarrow OMHO'\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) \( \Rightarrow OO' = MH\) (tính chất hình chữ nhật)

Vì \(MH \bot OH \Rightarrow \Delta MNH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta MNH\) vuông tại \(H\), tính được \(MH\)

c) Thể tích hình chóp có \(h\) là chiều cao và \({S_d}\) là diện tích đáy là: \(V = \dfrac{1}{3}.{S_d}.h\)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD,\;A'B'C'D'\) là các hình vuông (gt) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BC = CD = DA = 4cm\\A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = 8cm\end{array} \right.\)

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là :

\({S_{xq}} = \dfrac{1}{2}.\left( {{C_{ABCD}} + C{'_{A'B'C'D'}}} \right).MN = \dfrac{1}{2}.\left( {4.AB + 4.A'B'} \right).MN = \dfrac{1}{2}.\left( {4.4 + 4.8} \right).4 = 96c{m^2}\)

Diện tích toàn phần của hình chóp cụt đều là : \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{ABCD}} + {S_{A'B'C'D'}} = 96 + {4^2} + {8^2} = 176c{m^2}\)

b) Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình chóp cụt đều \( \Rightarrow OO'\) là đường cao của hình chóp cụt đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OO' \bot \left( {ABCD} \right)\\OO' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right.\)

Kẻ \(MH \bot ON\left( {H \in ON} \right)\).

Vì \(\left. \begin{array}{l}OO' \bot \left( {ABCD} \right)\\OM \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO' \bot OM\).

Chứng minh tương tự ta có : \(OO' \bot OH\)

Xét tứ giác \(OMHO'\) có :

\(\left. \begin{array}{l}OO' \bot OM\\OO' \bot O'H\\MH \bot OH\end{array} \right\} \Rightarrow OMHO'\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow OO' = MH\) (tính chất hình chữ nhật)

Dễ dàng chứng minh được \(OM,ON\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BCD\) và \(\Delta B'C'D'\)

Vì \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)(cmt)\( \Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}.4 = 2cm \Rightarrow OH = 2cm\left( {OM = OH} \right)\)

\(ON\) là đường trung bình của \(\Delta B'C'D'\) (cmt) \( \Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}C'D' = \dfrac{8}{2} = 4cm\)

\( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}ON \Rightarrow HN = OH = 2cm\)

Vì \(MH \bot OH \Rightarrow \Delta MNH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta MNH\) vuông tại \(H\), ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,M{N^2} = M{H^2} + H{N^2}\\ \Leftrightarrow M{H^2} = M{N^2} - H{N^2} = {4^2} - {2^2} = 12\\ \Rightarrow MH = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Vậy đường cao của hình chóp cụt đều là \(OO' = MH = 2cm\)

c) Gọi hình chóp đều được lắp thêm vào là \(S.ABCD\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right)\\SO' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right.\).

Mà \(OC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC \Rightarrow \Delta SOC\) vuông tại \(O\).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,S{C^2} = S{O^2} + O{C^2}\\ \Leftrightarrow S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 124\\ \Rightarrow SO = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Ta có \(SO' = SO + OO' = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 cm\)

Thể tích hình chóp mới là : \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO'.{S_{A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{3}.4\sqrt 3 {.8^2} = \dfrac{{256\sqrt 3 }}{3}(c{m^3})\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link