Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\). Biết \(AM = 3cm,BM =

Câu hỏi số 550124:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\). Biết \(AM = 3cm,BM = 2cm,\)\(AN = 7,5cm,NC = 5cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(O\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,I,O\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550124

Phương pháp giải

+ \(\dfrac{{MK}}{{BI}} = \dfrac{{NK}}{{CI}} \Rightarrow MK = NK\left( {BI = CI} \right)\)

+ \(I' = AO \cap BC\)

+ \(\dfrac{{KN}}{{BI'}} = \dfrac{{MK}}{{CI'}}\) \( \Rightarrow BI' = CI'\) \( \Rightarrow I \equiv I'\)

\( \Rightarrow A,O,I\) thẳng hàng (đpcm)

Giải chi tiết

Ta có:\(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow MN//BC\)

Gọi \(K\) là giao của \(AI\) và \(MN\).

Xét \(\Delta ABI\) có: \(MK//BI\left( {K \in MN,I \in BC} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{BI}} = \dfrac{{AK}}{{AI}}\) (định lý Ta - let).

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{NK}}{{BI}} = \dfrac{{AK}}{{AI}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{BI}} = \dfrac{{NK}}{{CI}} \Rightarrow MK = NK\left( {BI = CI} \right)\)

Xét \(\Delta OBC\) và \(\Delta OMN\) có:

\(MN//OB\) (cmt)

\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{ON}}{{OB}} = \dfrac{{OM}}{{OC}}\) (định lý Ta - let) (1)

Gọi \(I' = AO \cap BC\)

Xét \(\Delta OBI'\) có:

\(KN//BI'\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ON}}{{OB}} = \dfrac{{KN}}{{BI'}}\) (định lý Ta - let) (2)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{OM}}{{OC}} = \dfrac{{MK}}{{CI'}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\dfrac{{KN}}{{BI'}} = \dfrac{{MK}}{{CI'}}\)

Mà \(MK = KN(cmt) \Rightarrow BI' = CI'\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BI = CI\\BI' = CI'\end{array} \right\} \Rightarrow I \equiv I'\)

\( \Rightarrow A,O,I\) thẳng hàng (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link