Cho \(\Delta ABC\) nhọn \((AB < AC)\). Các đường cao \(AE,BF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) trung

Câu hỏi số 550123:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\) nhọn \((AB < AC)\). Các đường cao \(AE,BF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) trung điểm của \(BC\), qua \(H\) vẽ đường thẳng \(a\) vuông góc với \(HM\), \(a\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(I,K\).

a) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta EFC\).

b) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(b\) song song với đường thẳng \(IK\), \(b\) cắt \(AH,AB\) theo thứ tự tại \(N,D\). Chứng minh \(NC = ND\) và \(HI = HK\).

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB\). Chứng minh: \(\dfrac{{AH}}{{HE}} + \dfrac{{BH}}{{HF}} + \dfrac{{CH}}{{HG}} > 6\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550123

Phương pháp giải

a) \(\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\)\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta {\rm{EF}}C(c.g.c)\)

b) \(\left. \begin{array}{l}\dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{HI}}{{ND}} = \dfrac{{HK}}{{NC}}\\ND = NC\end{array} \right\} \Rightarrow HI = HK\)

c) \(\dfrac{{AH}}{{HE}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}};\quad \dfrac{{BH}}{{BF}} = \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}};\quad \dfrac{{CH}}{{CG}} = \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}\)

Bất đẳng thức Cô – si cho n số thực không âm:

\({x_1} + {x_2} + {x_3},..., + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}.{x_3}...{x_n}}}\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta BFC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AEC = \angle BFC = 90^\circ \\\angle ACB\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AEC \sim \Delta BFC(g.g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EFC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ACE\;chung\\\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta EFC\left( {c.g.c} \right)\)

b) + Vì \(\left. \begin{array}{l}IK//CN\left( {gt} \right)\\HM \bot IK\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HM \bot CN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta CHN\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CN\left( {cmt} \right)\\CE \bot HN\left( {gt} \right)\\HM \cap CE = \left\{ M \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\) là trực tâm của \(\Delta CHN\)

\( \Rightarrow NM \bot CG\)

\(\Delta ABC\) có các đường cao \(AE,BF\) cắt nhau tại \(H \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow CH \bot AB\) hay \(CG \bot AB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NM \bot CG\\AB \bot CG\end{array} \right. \Rightarrow MN//AB\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta BCD\) có:

\(M\) là trung điểm của \(BC\left( {gt} \right)\)

\(MN//AB\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow NC = ND\)

+ Vì \(IH//ND\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta AIH \sim \Delta AND\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{IH}}{{ND}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

Vì \(HK//NC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta AHK \sim \Delta ANC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{HK}}{{NC}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AN}} = \dfrac{{HI}}{{ND}} = \dfrac{{HK}}{{NC}}\)

Mà \(ND = NC\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow HI = HK\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta AHC}} = \dfrac{1}{2}.CE.AH\\{S_{\Delta CHE}} = \dfrac{1}{2}CE.HE\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{HE}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta CEH}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta BHE}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta CHE}} + {S_{\Delta BHE}}}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{{BH}}{{BF}} = \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right);\quad \dfrac{{CH}}{{CG}} = \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2) và (3) theo từng vế, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AH}}{{HE}} + \dfrac{{BH}}{{HF}} + \dfrac{{CH}}{{HG}} = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}} + {S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 6 số không âm, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} \ge 6\sqrt[6]{{\,\,\dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}}.\dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{BHC}}}}.\dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}}.\dfrac{{{S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}}.\dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}.\dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}}}}\\ \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} \ge 6\sqrt[6]{1}\\ \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{BHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHA}}}}{{{S_{\Delta AHC}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} + \dfrac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta BHA}}}} \ge 6\\ \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{HE}} + \dfrac{{BH}}{{HF}} + \dfrac{{CH}}{{HG}} \ge 6\end{array}\)

Dấu xảy ra khi \(\Delta ABC\) đều, nhưng \(AB < AC(gt)\) nên sẽ không xảy ra.

Vậy \(\dfrac{{AH}}{{HE}} + \dfrac{{BH}}{{HF}} + \dfrac{{CH}}{{HG}} > 6\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link