Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(Cx,Cy\) là các tia trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\)có chứa điểm \(B\) sao cho

Câu hỏi số 550125:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(Cx,Cy\) là các tia trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\)có chứa điểm \(B\) sao cho tia \(Cx\) nằm giữa hai tia \(CB,Cy\) và \(Cx//AB\). Một đường thẳng bất kì qua \(B\) cắt \(Cx,Cy\) tại \(D,E\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AD\) với \(BC.\) Chứng minh rằng đường thẳng \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550125

Phương pháp giải

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{{KD}}{{KC}} = \dfrac{{IA}}{{IB}}\\\dfrac{{KD}}{{KC}} = \dfrac{{IB}}{{IJ}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{IB}}{{IJ}} \Rightarrow I{B^2} = IA.IJ \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BJ}} = \dfrac{{IA}}{{IB}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(I,K\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(EF\) với \(AB,Cx\).

Vì \(IA//KD\,\,\,\left( {do\,\,\,AB//Cx} \right) \Rightarrow \Delta FIA \sim \Delta FKD(g.g) \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{IA}} = \dfrac{{FK}}{{FI}}\)

Vì \(IB//KC\,\left( {do\,\,AB//Cx} \right) \Rightarrow \Delta FKC \sim \Delta FIB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{FK}}{{FI}} = \dfrac{{KC}}{{IB}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{IA}} = \dfrac{{FK}}{{FI}} = \dfrac{{KC}}{{IB}}\\ \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{KC}} = \dfrac{{IA}}{{IB}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Gọi \(J\) là giao điểm của đường thẳng \(CE,AB\). Vì \(I\) nằm giữa \(A,B\) nên \(I\) là điểm cố định.

Vì \(IJ//KC \Rightarrow \Delta EKC \sim \Delta EIJ(g.g) \Rightarrow \dfrac{{KC}}{{{\rm{IJ}}}} = \dfrac{{EK}}{{IE}}\)

Vì \(KD//IB \Rightarrow \Delta EKD \sim \Delta EIB(g.g) \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{IE}} = \dfrac{{KD}}{{IB}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{KC}}{{IJ}} = \dfrac{{EK}}{{IE}} = \dfrac{{KD}}{{IB}} \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{KC}} = \dfrac{{IB}}{{IJ}}\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{IB}}{{IJ}} \Rightarrow I{B^2} = IA.IJ\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{(JB - IJ)^2} = (IJ - JA).IJ\\ \Rightarrow J{B^2} - 2.JB.IJ + I{J^2} = I{J^2} - JA.IJ\\ \Rightarrow JB(JB - IJ) = IJ.(JB - JA)\\ \Rightarrow JB.IB = IJ.BA\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BJ}} = \dfrac{{IB}}{{IJ}}\\ \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BJ}} = \dfrac{{IA}}{{IB}}\end{array}\)

\( \Rightarrow A,B,I,J\) là các điểm cố định

Vậy \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link