Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) \((AB < AC)\). \(D\) là điểm nằm trên cung

Câu hỏi số 550265:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) \((AB < AC)\). \(D\) là điểm nằm trên cung nhỏ \(BC(D \ne B,DB < DC)\). Lấy điểm \(E\) thuộc đoạn thẳng \(AD\) sao cho \(AE > ED(E \ne D)\). Đường trờn đường kinh \(ED\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(F(F \ne D,F \ne B,F \ne C)\). Đường thẳng \(DO\) và \(AF\) cắt đường tròn đường kính \(ED\) lần lượt tại các điểm \(M,N(M \ne D,N \ne F)\). Kẻ đường kính \(DK\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh:

a) Bốn điểm \(A,E,M,K\) cùng thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh: \(\Delta NAD = \Delta MAD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550265

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh \(AEMK\) nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc dối bằng \(180^\circ \)), do đó điểm \(A,E,M,K\) cùng thuộc một đường tròn

b) + \(E\), \(F\), \(K\) thẳng h\(\Delta NDA = \Delta MDA\)àng.

+ \(\Delta EDN = \Delta EDM\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow ND = MD(2\) cạnh tương ứng).

+ (cạnh - góc - cạnh).

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {DME} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(DE)\)

\( \Rightarrow EM \bot DK \Rightarrow \widehat {EMK} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left. {(O)} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {EAK} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AEMK\) có: \(\widehat {EAK} + \widehat {EMK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(AEMK\) nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc dối bằng \(180^\circ \) ).

Vậy bốn điểm \(A,E,M,K\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có \(\widehat {EFD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(ED\) ) \( \Rightarrow EF \bot FD\) (1)

Tương tự \(\widehat {DFK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left. {(O)} \right)\) \( \Rightarrow KF \bot FD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(E\), \(F\), \(K\) thẳng hàng.

Xét đường tròn đường kính \(ED\), ta có \(\widehat {NFE} = \widehat {NDE}(2\) góc nội tiếp cùng chắn \(\widehat {NE}\) ) hay \(\widehat {AFK} = \) \(\widehat {NDE}\)

Lại có \(\widehat {AFK} = \widehat {ADK}(2\) góc nội tiếp cùng chắn \(\widehat {AK}\) ) hay \(\widehat {AFK} = \widehat {EDM}\). Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {NDE} = \widehat {EDM}\) (cùng bằng \(\widehat {AFK}\) ).

Xét \(\Delta EDN\) và \(\Delta EDM\) có:

\(\widehat {END} = \widehat {EMD} = 90^\circ \)

\(ED\) : cạnh chung.

\(\widehat {NDE} = \widehat {EDM}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta EDN = \Delta EDM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow ND = MD(2\) cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta NAD\) và \(\Delta MAD\) có

\(ND = MD.\)

\(AD:\) cạnh chung.

\(\widehat {NDA} = \widehat {MDA}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta NDA = \Delta MDA\) (cạnh - góc - cạnh).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link