Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}.\) Tìm giá trị

Câu hỏi số 551749:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \dfrac{1}{{{x^2}}}\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + {x^2}\left( {\dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2016.\)

A. \({P_{\min }} = 2022 \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{2}\)

B. \({P_{\min }} = 2021 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{z}{{\sqrt 2 }}\)

C. \({P_{\min }} = 2022 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{z}{2}\)

D. \({P_{\min }} = 2021 \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551749

Phương pháp giải

+ Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

+ Áp dụng BĐT \(AM - GM\) và \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}\) (giả thiết của đề bài)

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta được \(P \ge \dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{4{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016.\)

\(P \ge \dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{{3{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016.\)

Áp dụng BĐT \(AM - GM\) và \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}\) ta được

\(P \ge 2\sqrt {\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} + \dfrac{{3\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016 = 2021.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {z^2}\\{x^2} = {y^2} + {z^2}\\\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}.\)\(\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(2021\) đạt được khi \(y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link