Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}.\) Tìm giá trị

Câu hỏi số 551749:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \dfrac{1}{{{x^2}}}\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + {x^2}\left( {\dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) + 2016.\)

A. \({P_{\min }} = 2022 \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{2}\)

B. \({P_{\min }} = 2021 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{z}{{\sqrt 2 }}\)

C. \({P_{\min }} = 2022 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{z}{2}\)

D. \({P_{\min }} = 2021 \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551749

Phương pháp giải

+ Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

+ Áp dụng BĐT \(AM - GM\) và \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}\) (giả thiết của đề bài)

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta được \(P \ge \dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{4{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016.\)

\(P \ge \dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{{3{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016.\)

Áp dụng BĐT \(AM - GM\) và \({x^2} \ge {y^2} + {z^2}\) ta được

\(P \ge 2\sqrt {\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} + \dfrac{{3\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{{y^2} + {z^2}}} + 2016 = 2021.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {z^2}\\{x^2} = {y^2} + {z^2}\\\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}.\)\(\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(2021\) đạt được khi \(y = z = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link