Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\),

Câu hỏi số 553516:

Vận dụng

Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\), sao cho \(\angle {O_1}A{O_2}\) là góc tù. Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm thứ hai \(B\) (khác \(A\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_1}} \right)\) tại điểm thứ hai \(D\) (khác \(A\)).

a) Trên cung \(AD\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_1}} \right)\), lấy điểm \(K\), khác \(A\) và \(D\), sao cho đường thẳng \(KM\) cắt cung \(AB\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm \(L\), khác \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AK\) song song với đường thẳng \(BL\).

b) Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi:553516

Phương pháp giải

a) \(\angle AKM = \angle MLB\) mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AK//LB\)

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Với giả thuyết \(\angle {O_1}A{O_2}\) là góc tù, ta có thế hình như ở trên.

Xét \(\left( {{O_1}} \right)\), ta có: \(\angle AKM = \angle MAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\), ta có: \(\angle MLB = \angle MAB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)

Từ (1) và (2), suy ra, \(\angle AKM = \angle MLB\).

Do đó, \(AK//LB\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

b) Xét \(\left( {{O_1}} \right)\) ta có: \(\angle MDA = \angle MAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D) (3)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có: \(\angle MAD = \angle MBA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4)

Từ (3) và (4), suy ra, .

Do đó, \(\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MA}}\); mà \(MC = MA\)(gt), nên \(\dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\). (5)

Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được: \(\angle DMC = \angle CMB\) (6)

Từ (5) và (6), suy ra, .

Do đó, \(\angle DCM = \angle CBM\).

Vì thế, ta có:

\(\angle DCB = \angle DCM + \angle MCB = \angle CBM + \angle MCB\)

\(\begin{array}{l} = {180^0} - \angle BMC = {180^0} - (\angle BAM + \angle MBA)\\ = {180^0} - (\angle BAM + \angle MAD)\quad ({\rm{do}}\,\,\,\,(4))\\ = {180^0} - \angle BAD\end{array}\)

Suy ra, \(\angle BAD + \angle DCB = {180^0}\). Do đó, \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.