Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{3x + 5}}}}{{{x^2} - 3x +

Câu hỏi số 554154:

Vận dụng

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{3x + 5}}}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right) = \dfrac{a}{b}\,\)(\(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản; \(a,\,\,b\) là số nguyên). Tính tổng \(P = {a^2} + {b^2}\)

A. \(P = 5\).

B. \(P = 3\).

C. \(P = 2\).

D. \(P = - 2\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554154

Phương pháp giải

Thêm bớt và sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng \(\dfrac{0}{0}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt[3]{{3x + 5}}}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2 - \left( {\sqrt[3]{{3x + 5}} - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{3x + 5}} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 5}} + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 5}} + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x + 2 - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} - \dfrac{{3x + 5 - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 5}} + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 5}} + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2} \right)}} - \dfrac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 5}} + 4} \right)}}\)

\( = \dfrac{{ - 3}}{4} - \dfrac{{ - 1}}{4} = - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = - \dfrac{1}{2}\)

Tổng \(P = {\left( { - 1} \right)^2} + {2^2} = 5\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.