Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) và

Câu hỏi số 554484:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) và \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + i} \right)\) là số thực?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554484

Phương pháp giải

- Gọi z = a + bi \( \Rightarrow \overline z = a - bi\).

- Thay vào 2 giả thiết tìm 2 phương trình.

- Giải 2 phương trình tìm a, b.

Giải chi tiết

Gọi z = a + bi \( \Rightarrow \overline z = a - bi\).

+) \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {a + bi - i} \right| = \left| {a + bi - a + bi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2b + 1 = {b^2} + 2b + 1\\ \Leftrightarrow {a^2} = 4b\,\,\,(1)\end{array}\)

+) \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + i} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {a + bi - 2} \right)\left( {a - bi + i} \right)\\ = \left( {a - 2} \right)a - b\left( { - b + 1} \right) + \left[ {\left( {a - 2} \right)\left( { - b + 1} \right) + ab} \right]i\\ = \left( {a - 2} \right)a - b\left( { - b + 1} \right) + \left( {a + 2b - 2} \right)i\end{array}\)

Là số thực \( \Rightarrow a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 - 2b\) (2).

Thay (2) vào (1)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2 - 2b} \right)^2} = 4b\\ \Leftrightarrow 4 - 8b + 4{b^2} = 4b\\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 12b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.