Cho \(N\) tập hợp \(\left( {N \ge 6} \right)\), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ

Câu hỏi số 555207:

Vận dụng cao

Cho \(N\) tập hợp \(\left( {N \ge 6} \right)\), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái \(a,b,c,...\)

a) Biết rằng trong \(N\) tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kì có chung đúng một chữ cái và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả \(N\) tập hợp này. Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ \(N\) tập hợp đã cho.

b) Biết rằng trong \(N\) tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng hai chữ cái, và không có hai chữ cái nào có mặt trong tất cả \(N\) tập hợp này. Hỏi trong số \(N\) tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập có chung đúng hai chữ cái?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555207

Phương pháp giải

a) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

b) Xét từng trường hợp để chứng minh bài toán

Giải chi tiết

a) Giả sử tồn tại một chữ cái, đại diện là \(\alpha \) có trong 6 tập.

Gọi 6 tập này là \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4},\,\,{A_5},\,\,{A_6}\).

Khi đó, 24 phần tử còn lại trong 6 tập hợp ngoài trừ \(\alpha \) là hoàn toàn khác nhau.

Với \(N = 6\), rõ ràng mâu thuẫn với giả thiết không có chữ cái nào có mặt trong tất cả \(N\) tập.

Xét \(N \ge 7\) ta gọi thêm 1 tập hợp là \(X\).

Theo giả thiết thì X phải có đúng một phần tử chung với mỗi tập \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4},\,\,{A_5},\,\,{A_6}\).

Do đó, nếu X không chứa phần tử \(\alpha \) thì tập hợp X phải có ít nhất 6 phần tử, mỗi phần tử thuộc từng tập hợp \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4},\,\,{A_5},\,\,{A_6}\).

Việc một tập hợp có 6 phần tử là vô lý.

\( \Rightarrow X\) chứa phần tử \(\alpha \).

Cứ thế ta có N tập đều có chung phần tử \(\alpha \), điều này là vô lý.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta xét các trường hợp có 5 tập, gọi là \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4},\,\,{A_5}\) chung nhau đúng 2 phần tử là \(a,\,\,b\).

Khi đó 3 phần tử còn lại trong 5 tập đó đôi một khác nhau.

Vì \(N \ge 6\) nên ta chọn ra một tập X, từ đó ta có 2 TH sau:

TH1: X không chứa \(a,\,\,b\).

\( \Rightarrow \) Mỗi tập trong 5 tập trên phải lấy ra 2 phần tử cho X \( \Rightarrow X\) sẽ có 10 phần tử \( \Rightarrow \) Vô lý.

TH2: X chứa 1 phần tử, giả sử X chứa \(a.\)

\( \Rightarrow \) Mỗi tập hợp trong 5 tập trên phải lấy ra 1 phần tử cho X \( \Rightarrow \) X sẽ có 6 phần tử \( \Rightarrow \) Vô lý.

Vậy chỉ có thể có nhiều nhất 4 tập có chung đúng 2 phàn tử.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link