Chứng minh rằng với \(a,b,c \in \mathbb{R}\), ta luôn có: \(3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge \left(

Câu hỏi số 557048:

Thông hiểu

Chứng minh rằng với \(a,b,c \in \mathbb{R}\), ta luôn có: \(3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557048

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Giả sử: \(a \ge b \ge c\)

Ta có: \({a^4} + {b^4} + {c^4} = a.{a^3} + b.{b^3} + c.{c^3}\)

Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge b \ge c\\{a^3} \ge {b^3} \ge {c^3}\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,a.{a^3} + b.{b^3} + c.{c^3} \ge \dfrac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {a.{a^3} + b.{b^3} + c.{c^3}} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link