Cho các số thực dương \(x,y,z,t\) thoả mãn\(xyzt = 1\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{{{x^3}\left( {yz + zt

Câu hỏi số 556459:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y,z,t\) thoả mãn\(xyzt = 1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{{x^3}\left( {yz + zt + ty} \right)}} + \dfrac{1}{{{y^3}\left( {xz + zt + tx} \right)}} + \dfrac{1}{{{z^3}\left( {xt + ty + yx} \right)}} + \dfrac{1}{{{t^3}\left( {xy + yz + zx} \right)}} \ge \dfrac{4}{3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556459

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

Giải chi tiết

Với \(x,y,z,t\) đặt \(a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z};d = \dfrac{1}{t}\left( {a,b,c,d > 0} \right)\) và \(abcd = 1\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{a};y = \dfrac{1}{b};z = \dfrac{1}{c};t = \dfrac{1}{d}\)

Thay vào biểu thức ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{a^3}}}\left( {\dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{cd}} + \dfrac{1}{{bd}}} \right)}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{b^3}}}\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{cd}} + \dfrac{1}{{ad}}} \right)}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{c^3}}}\left( {\dfrac{1}{{ad}} + \dfrac{1}{{bd}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right)}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{d^3}}}\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ac}}} \right)}} \ge \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{\dfrac{{b + c + d}}{{bcd}}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{\dfrac{{c + d + a}}{{acd}}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{\dfrac{{d + a + b}}{{abd}}}} + \dfrac{{{d^3}}}{{\dfrac{{a + b + c}}{{abc}}}} \ge \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{a\left( {b + c + d} \right)}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b\left( {c + d + a} \right)}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c\left( {d + a + b} \right)}} + \dfrac{{{d^3}}}{{d\left( {a + b + c} \right)}} \ge \dfrac{4}{3}\left( {abcd = 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c + d}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + d + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{d + a + b}} + \dfrac{{{d^2}}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Đặt \(S = \dfrac{{{a^2}}}{{b + c + d}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + d + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{d + a + b}} + \dfrac{{{d^2}}}{{a + b + c}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,S.\left[ {\left( {b + c + d} \right) + \left( {c + d + a} \right) + \left( {d + a + b} \right) + \left( {a + b + c} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c + d} \right)^2}\\ \Rightarrow S \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{3\left( {a + b + c + d} \right)}} = \dfrac{1}{3}\left( {a + b + c + d} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương:

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\c + d \ge \sqrt {cd} \end{array}\)

\( \Rightarrow a + b + c + d \ge 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {cd} } \right)\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} \ge 2\sqrt {\sqrt {abcd} } = 2\sqrt[4]{{abcd}} = 2\left( {abcd = 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow S \ge \dfrac{4}{3}\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = d = 1 \Leftrightarrow x = y = z = t = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link