Cho \(a,b,c,d > 0\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}} + \dfrac{{{a^3} + {b^3} +

Câu hỏi số 557049:

Thông hiểu

Cho \(a,b,c,d > 0\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}} + \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {d^3}}}{{a + b + d}} + \dfrac{{{a^3} + {c^3} + {d^3}}}{{a + c + d}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{b + c + d}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557049

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Giả sử: \(a \ge b \ge c \ge d \Rightarrow {a^3} \ge {b^3} \ge {c^3} \ge {d^3}\)

+ Ta xét: \({a^3} + {b^3} + {c^3} = a.{a^2} + b.{b^2} + c.{c^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,a.{a^2} + b.{b^2} + c.{c^2} \ge \dfrac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge \dfrac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\end{array}\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {d^3}}}{{a + b + d}} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {d^2}}}{3}\) ; \(\dfrac{{{a^3} + {c^3} + {d^3}}}{{a + c + d}} \ge \dfrac{{{a^2} + {c^2} + {d^2}}}{3}\)và \(\dfrac{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{b + c + d}} \ge \dfrac{{{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{3}\)

Cộng theo từng vế, ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}} + \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {d^3}}}{{a + b + d}} + \dfrac{{{a^3} + {c^3} + {d^3}}}{{a + c + d}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{b + c + d}} \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {d^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} + {d^2}}}{3} + \dfrac{{{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}} + \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {d^3}}}{{a + b + d}} + \dfrac{{{a^3} + {c^3} + {d^3}}}{{a + c + d}} + \dfrac{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}{{b + c + d}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = d\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link