Cho a, b ,c là các số dương thỏa mãn đẳng thức + + = 2 Chứng minh rằng : + + ≥

Câu hỏi số 55708:

Cho a, b ,c là các số dương thỏa mãn đẳng thức $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{bc}$ + $\sqrt{ca}$ = 2

Chứng minh rằng : $\frac{a}{1+\frac{b}{a}}$ + $\frac{b}{1+\frac{c}{b}}$ + $\frac{c}{1+\frac{a}{c}}$ ≥ 1

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55708

Giải chi tiết

Với a, b, c, x, y là các số dương ta chứng minh $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ ≥ $\frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ (1)

(1) ⇔ (a²y + b²x)(x + y) ≥ xy(a + b)²

⇔ a²xy + a²y² + b²x² + b²xy – a²xy – b²xy – 2abxy ≥ 0

⇔ a²y² + b²x² – 2abxy ≥ 0

⇔ (ay – bc)² ≥ 0 (bất đẳng thức luôn đúng).Dấu = xảy ra khi ay – bx = 0

⇔ $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$

Áp dụng (1) ta chứng minh $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ (2) với a, b,c , x, y, z là các số dương

Thật vậy $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ . Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$

Áp dụng (2), ta có $\frac{a}{1+\frac{b}{a}}$ + $\frac{b}{1+\frac{c}{b}}$ + $\frac{c}{1+\frac{a}{c}}$ = $\frac{a^{2}}{a+b}$ + $\frac{b^{2}}{b+c}$ + $\frac{c^{2}}{c+a}$

≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}$ = $\frac{a+b+c}{2}$

Lại có (√a - √b)² + (√b - √c)² + (√c - √a)² ≥ 0 ⇔ a + b + c ≥ = 2

Do đó $\frac{a}{1+\frac{b}{a}}$ + $\frac{b}{1+\frac{c}{b}}$ + $\frac{c}{1+\frac{a}{c}}$ ≥ $\frac{2}{2}$ = 2. Dấu = xảy ra khi

$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}\\ a=b=c\\ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2 \end{matrix}\right.$ => a = b = c = $\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link