Giả sử dãy số thực có thứ tự x1 ≤ x2 ≤ ..... ≤ x192 thỏa mãn các điều kiện: X1 + x2 + .......+ x192 = 0 và |x1| + |x2| + ....... + |x192| = 2013 Chứng minh rằng: x192

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 55890:

Giả sử dãy số thực có thứ tự x₁ ≤ x₂ ≤ ..... ≤ x₁₉₂ thỏa mãn các điều kiện:

X₁ + x₂ + .......+ x₁₉₂ = 0 và |x₁| + |x₂| + ....... + |x₁₉₂| = 2013

Chứng minh rằng: x₁₉₂ – x₁ ≥ $\frac{2013}{96}$

A. Click để xem lời giải.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55890

Giải chi tiết

Ta chứng minh bài toán: a₁ ≤ a₂ ≤ ...... ≤ a_n thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+a_{3}+....+a_{n}=0\\ |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}| +.....+|a_{n}|=1\end{matrix}\right.$ thì $a_{n}-a_{1}$ ≥ $\frac{2}{n}$

Từ điều kiện trên, ta suy ra:

Có k ϵ N sao cho a₁ ≤ a₂ ≤ .... ≤ a_k ≤ 0 ≤ a_k+1≤ .... ≤ a_n

=> $\left\{\begin{matrix} (a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+(a_{k+1}+...+a_{n})=0\\ -(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+(a_{k+1}+...+a_{n})=1 \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+...+a_{k}=-\frac{1}{2}\\ a_{k+1}+...+a_{n}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Mà a₁ ≤ a₂ ≤ .... ≤ a_k=> a₁ ≤ $-\frac{1}{2k}$ ;

a_k+1≤ .... ≤ a_n=> a_n≥ $\frac{1}{2k}$

$a_{n}-a_{1}$ ≥ $\frac{1}{2k}$ + $\frac{1}{2(n-k)}=\frac{n}{2k(n-k)}$ ≥ $\frac{n}{2(\frac{k+n-k}{2})^{2}}=\frac{2}{n}$

Bài toán phụ đã chứng minh.

Từ (I) suy ra: $\left\{\begin{matrix} \frac{x_{1}}{2013}+\frac{x_{2}}{2013}+...+\frac{x_{192}}{2013}=0\\ |\frac{x_{1}}{2013}|+|\frac{x_{2}}{2013}|+...+|\frac{x_{192}}{2013}|=0 \end{matrix}\right.$

Áp dụng bài toán trên ta có:

$\frac{x_{192}}{2013}-\frac{x_{1}}{2013}$ ≥ $\frac{2}{192}$ => x₁₉₂ – x₁ ≥ $\frac{2013}{96}$ (đpcm).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link