Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x

Câu hỏi số 559415:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0\) có 3 nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(A = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \({A_{\min }} = 3 \Leftrightarrow m = 2\)

B. \({A_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m = 3\)

C. \({A_{\min }} = 4 \Leftrightarrow m = 1\)

D. \({A_{\min }} = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559415

Phương pháp giải

Đưa phương trình ban đầu về dạng tích: \(\left( {x - {x_3}} \right)f\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right)\) là phương trình bậc hai tìm được nghiệm \({x_3}\)

Tìm điều kiện phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Thay \({x_1},{x_2},{x_3}\) vào \(A = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\), tìm được giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx + x - m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2{x^2} + 2x + mx - m - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x - 1} \right) + \left( {m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f\left( x \right) = {x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \({x_3} = 1\)

Phương trình (*) có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3} \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - m + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow m \le 2\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 1\\ = {2^2} - 2\left( {m - 1} \right) + 1\\ = 4 - 2m + 2 + 1\\ = - 2m + 7\end{array}\)

Vì \(m \le 2 \Rightarrow - 2m \ge - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2m + 7 \ge 3\\ \Leftrightarrow A \ge 3\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \(m = 2\)

Vậy \({A_{\min }} = 3 \Leftrightarrow m = 2\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link