Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right)\). Đường tròn \(\left( O \right)\) đường

Câu hỏi số 559414:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right)\). Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) cắt \(BC\) tại \(H\). Tia phân giác của \(\angle HAC\) cắt \(BC\) tại \(E\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AH\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(DEHF\) nội tiếp.

b) \(\Delta ABE\) cân.

c) \(OD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DEHF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559414

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu: tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp

b) \(\angle BAE = \angle BEA \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(B\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DEHF\)

Ta sẽ chứng minh: \(ID \bot OD\) tại \(D\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(H,D\) thuộc đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle AHB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({90^0}\))

Do đó, \(\angle FHE = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AHB\)) và \(\angle EDE = {90^0}\) (kề bù với \(\angle ADB\))

Xét tứ giác \(DEHF\) có: \(\angle FHE + \angle EDF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle FHE,\angle EDF\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow DEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) \(AE\) là phân giác của \(\angle CAH \Rightarrow \angle HAE = \angle CAE\)

Ta có: \(\angle BAH = \angle ACB\) (cùng phụ với \(\angle HAC\))

Tam giác \(ACE\) có: \(\angle AEB = \angle EAC + \angle ECA\) (góc ngoài của tam giác)

\( = \angle HAE + \angle BAH = \angle BAE\)

\( \Rightarrow \Delta ABE\) cân ở \(B\)

c) \(\Delta ABE\) cân ở \(B\) có \(BD\) là đường cao (do \(\angle ADA = {90^0}\))

\( \Rightarrow BD\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AE\)

Xét \(\Delta ABE\) có: \(O,D\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AE\)

\( \Rightarrow OD\) là đường trung bình của tam giác \(ABE\)

\( \Rightarrow OD//BE\) (tính chất đường trung bình)

Mà \(AH \bot BE\left( {do\,\,\angle AHB = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow OD \bot AH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(EF\)

Ta có tứ giác \(DEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DEHF\)

\( \Rightarrow ID = IE\)

\( \Rightarrow \Delta IDE\) cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \angle IED = \angle IDE\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta ABE\) cân ở \(B\) có \(BD\) là đường cao (do \(\angle ADA = {90^0}\))

\( \Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(AE\)

Mà \(F \in BD \Rightarrow \angle FAE = \angle FEA\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (tính chất đường trung trực)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle FAE = \angle IDE\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow DI//AF\,\,hay\,\,DI//AH\)

Mà \(AH \bot OD\)

\( \Rightarrow OD \bot DI\) tại \(D\)

\( \Rightarrow \) \(OD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DEHF\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link