Đa thức \(f\left( x \right)\) khi chia cho \(x - 2\) thì dư \(5\), khi chia cho \(x - 3\) thì dư 7, còn khi

Câu hỏi số 559936:

Vận dụng

Đa thức \(f\left( x \right)\) khi chia cho \(x - 2\) thì dư \(5\), khi chia cho \(x - 3\) thì dư 7, còn khi chia cho \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\) thì được thương là \({x^2} - 1\) và dư. Tìm đa thức \(f\left( x \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559936

Phương pháp giải

Xét giá trị riêng: Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư là \(ax + b\)

\( \Rightarrow \) Đa thức bị chia là: \(f\left( x \right) = g\left( x \right).Q\left( x \right) + ax + b\)

Giải chi tiết

Gọi thương của phép chia đa thức \(f\left( x \right)\) cho \(\left( {x - 2} \right);\left( {x - 3} \right)\) lần lượt là đa thức \(A\left( x \right);B\left( x \right)\).

Theo đề bài ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).A\left( x \right) + 5\) đúng với mọi \(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).B\left( x \right) + 7\) đúng với mọi \(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Gọi phần dư của phép chia đa thức \(f\left( x \right)\) cho \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\) là \(R\left( x \right) = ax + b\)

Theo đề bài ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + ax + b\) đúng với mọi \(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thay \(x = 2\) vào \(\left( 1 \right);\left( 3 \right)\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 5\\\left( 3 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 2a + b\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Thay \(x = 3\) vào \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = 7\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = 3a + b\end{array} \right. \Rightarrow 3a + b = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Giải \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta được: \(a = 2;b = 1\)

\( \Rightarrow \) Đa thức cần tìm là: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x + 1 = - {x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link