a) Tồn tại hay không số tự nhiên \(n\) sao cho \(\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots {2025^{2000}}\) b)

Câu hỏi số 561125:

Vận dụng

a) Tồn tại hay không số tự nhiên \(n\) sao cho \(\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots {2025^{2000}}\)

b) Tìm số dư của phép chia \({3^{517}}\) cho \(25\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561125

Phương pháp giải

+ Các số có chữ số tận cùng là \(0;1;5;6\) thì khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kì nào thì chữ số tận cùng không đổi.

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\)

Giải chi tiết

a) \({2025^{2000}}\) có chữ số tận cùng là \(5\) nên \({2025^{2000}} \vdots 5\)

Ta có : \({n^2} + n = n\left( {n + 1} \right)\) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của tích chỉ có thể là \(0;2;6\) chỉ có thể có tận cùng là \(1;3;7 \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\not{ \vdots }5\)

Vậy không tồn tại số tự nhiên \(n\) sao cho \(\left( {{n^2} + n + 1} \right) \vdots {2025^{2000}}\)

b) Ta có \({3^{10}} = {9^5} = 59049 \Rightarrow {3^{10}} + 1:50 \Rightarrow {3^{20}} - 1 = \left( {{3^{10}} + 1} \right)\left( {{3^{10}} - 1} \right):100\)

Mặt khác \({5^{16}} - 1:4 \Rightarrow 5\left( {{5^{16}} - 1} \right):20 \Rightarrow {5^{17}} = 5\left( {{5^{16}} - 1} \right) + 5 = 20k + 5\)

\( \Rightarrow {3^{517}} = {3^{20k + 5}} = {3^5}\left( {{3^{20k}} - 1} \right) + {3^5} = {3^5}\left( {{3^{20k}} - 1} \right) + 243\) có hai chữ số tận cùng là \(43\)

Ta có: \(43 - 25 = 18\)

Vậy số dư cần tìm là \(18\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link