a) Tìm số tự nhiên \(n \ge 1\) sao cho tổng \(1! + 2! + 3! + ... + n!\) là một số chính phương b) Cho

Câu hỏi số 561126:

Vận dụng

a) Tìm số tự nhiên \(n \ge 1\) sao cho tổng \(1! + 2! + 3! + ... + n!\) là một số chính phương

b) Cho \(n \in \mathbb{N}\) và \(n - 1\not{ \vdots }4\). Chứng minh rằng \({7^n} + 2\) không thể là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561126

Phương pháp giải

- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là \(0;1;4;5;6;9\)

- Số tự nhiên \(A\) không thể là số chính phương nếu :

+ \(A\) có chữ số tận cùng là \(2;3;7;8\)

+ \(A\) có chữ số hàng đơn vị khác \(6\) mà chữ số hàng chục là số lẻ

+ \(A\) có chữ số hàng đơn vị là \(5\) mà chữ số hàng chục khác \(2\)

Giải chi tiết

a) Với \(n = 1\) thì \(1! = 1 = {1^2}\) là số chính phương.

Với \(n = 2\) thì \(1! + 2! = 3\) không phải số chính phương

Với \(n = 3\) thì \(1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33\) còn \(5!;6!;...;n!\) đều tận cùng bởi \(0\) do đó \(1! + 2! + 3! + ... + n!\) có tận cùng bởi chữ số \(3\) nên nó không phải số chính phương.

Vậy hai số tự nhiên \(n\) thoả mãn đề bài là \(n = 1;n = 3\)

b) Do \(n - 1\not{ \vdots }4\) nên \(n = 4k + r\left( {r \in \left\{ {0;2;3} \right\}} \right)\)

Ta có \({7^4} - 1 = 2400 \vdots 100\)

Mặt khác : \({7^n} + 2 = {7^{4k + r}} + 2 = {7^r} + \left( {{7^{4k}} - 1} \right) + {7^r} + 2\)

\( \Rightarrow \) Hai chữ số tận cùng của \({7^n} + 2\) cũng là hai chữ số tận cùng của \({7^r} + 2\left( {r \in \left\{ {0;2;3} \right\}} \right)\) nên chỉ có thể là \(03;51;45\).

\( \Rightarrow {7^n} + 2\) không thể là số chính phương khi \(n - 1\not{ \vdots }4\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link