Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :a) \(A = {1^{2002}} + {2^{2002}} + {3^{2002}} + ... +

Câu hỏi số 561124:

Vận dụng

Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

a) \(A = {1^{2002}} + {2^{2002}} + {3^{2002}} + ... + {2004^{2002}}\)

b) \(B = {1^{2003}} + {2^{2003}} + {3^{2003}} + ... + {2004^{2003}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561124

Phương pháp giải

+ \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)

+ \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {\left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

+ Các số có chữ số tận cùng là \(0;1;5;6\) thì khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kì nào thì chữ số tận cùng không đổi.

+ Nếu chữ số tận cùng của \(a\) là \(2;3;4;7;8;9\) thì tuỳ thuộc vào số mũ \(m\) ta xét \({a^m} = {a^{4n + r}} = {a^{4n}}.{a^r}\) để tìm chữ số tận cùng. Với \(r = 0\)\( \Rightarrow m = 4n\), theo tính chất 1:

- Thì số có tận cùng là \(3;7;9\), ta có số \(x\) có tận cùng là \(1\)

- Thì số có tận cùng là \(2;4;8\), ta có số \(x\) có tận cùng là \(6\)

Giải chi tiết

a) Ta có :

\(\begin{array}{l}A = {1^{2002}} + {2^{2002}} + {3^{2002}} + ... + {2004^{2002}}\\\,\,\,\,\, = {1^{2002}} + {2^2}\left( {{2^{2000}} - 1} \right) + ... + {2004^2}\left( {{{2004}^{2000}} - 1} \right) + {2^2} + ... + {2004^2}\end{array}\)

Nhận xét: + Nếu \(a\) là số chẵn thì \({a^2} \vdots 4\), nếu \(a\) là số lẻ thì \({a^{4.500}} - 1 = \left( {{a^{2000}} - 1} \right) \vdots 4\).

+ Nếu \(a \vdots 5 \Rightarrow {a^2} \vdots 25\)

\( \Rightarrow {a^2}\left( {{a^{2000}} - 1} \right) \vdots 100\)

\( \Rightarrow \) Chữ số tận cùng của tổng \({2^2}\left( {{2^{2000}} - 1} \right) + {3^2}\left( {{3^{2000}} - 1} \right) + ... + {2004^2}\left( {{{2004}^{2000}} - 1} \right)\) là \(0\)

Mặt khác ta có : \({1^2} + {2^2} + ... + {2004^2} = \dfrac{{2004\left( {2004 + 1} \right)\left( {2.2004 + 1} \right)}}{6} = 334.2005.4009 = 2684707030\)

Vậy hai chữ số tận cùng của \(A\) là \(30\)

b) Ta có :

\(\begin{array}{l}B = {1^{2003}} + {2^{2003}} + {3^{2003}} + ... + {2004^{2003}}\\\,\,\,\,\, = {1^{2003}} + {2^3}\left( {{2^{2000}} - 1} \right) + {3^3}\left( {{3^{2000}} - 1} \right) + ... + {2004^3}.\left( {{{2004}^{2000}} - 1} \right) + {2^3} + {3^3} + ... + {2004^3}\end{array}\)

Tương tự ý a) \( \Rightarrow \) chữ số tận cùng của tổng \({2^3}\left( {{2^{2000}} - 1} \right) + {3^3}\left( {{3^{2000}} - 1} \right) + ... + {2004^3}\left( {{{2004}^{2000}} - 1} \right)\) là \(0\)

Mặt khác \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {2004^3} = {\left( {\dfrac{{2004\left( {2004 + 1} \right)}}{2}} \right)^2} = {\left( {1002.2005} \right)^2} = BS\left( {00} \right)\)

Vậy hai chữ số tận cùng của \(B\) là \(00\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link