Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và

Câu hỏi số 562281:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(DM = 3MC\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BM\). Diện tích xung quanh của khối nón được sinh ra khi quay tam giác \(SAH\) xung quanh cạnh \(SA\) là

A. \(\dfrac{{4\pi {a^2}\sqrt {118} }}{{\sqrt {17} }}\).

B. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt {118} }}{{17}}\).

C. \(\dfrac{{4{a^2}\sqrt {118} }}{{17}}\).

D. \(\dfrac{{4\pi {a^2}\sqrt {118} }}{{17}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562281

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh khối nón: \({S_{xq}} = \pi Rl\).

Giải chi tiết

Nhận xét: \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\), do đó, khi quay \(\Delta SAH\) xung quanh cạnh \(SA\) ta được một khối nón có bán kính đáy \(R = AH\), chiều cao \(h = SA\), đường sinh \(l = SH\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}\).

\(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AC.\tan C = a\sqrt 2 .\tan {60^0} = a\sqrt 6 = h\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot SA\\BM \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BM \bot AH\).

\( \Rightarrow {S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.AH.BM = \dfrac{1}{2}.AH.\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{1}{2}.AH.\dfrac{{a\sqrt {17} }}{4}\).

Mặt khác : \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {M;AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{1}{2}{a^2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{1}{2}.AH.\dfrac{{a\sqrt {17} }}{4}\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {17} }} = R\).

\( \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \sqrt {\dfrac{{16{a^2}}}{{17}} + 6{a^2}} = a\sqrt {\dfrac{{118}}{{17}}} \).

Diện tích xung quanh của khối nón đó là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\dfrac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.a\sqrt {\dfrac{{118}}{{17}}} = \)\(\dfrac{{4\pi {a^2}\sqrt {118} }}{{17}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.