Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 5x

Câu hỏi số 562280:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) (với \(m \in \left[ {0;6} \right],2m \in \mathbb{Z}\) ) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng 9 điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562280

Phương pháp giải

Sử dụng \(\left| x \right|' = \dfrac{x}{{\left| x \right|}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\) (đều là nghiệm bội lẻ).

Xét \(u\left( x \right) = {x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 2\left| {x - 1} \right| + 1 - 2 = {\left( {\left| {x - 1} \right| - 1} \right)^2} - 2\).

\( \Rightarrow u'\left( x \right) = 2\left( {\left| {x - 1} \right| - 1} \right).\dfrac{{x - 1}}{{\left| {x - 1} \right|}}\)

\(u'\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 1\), \(u'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của \(u\left( x \right)\):

\(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = u'\left( x \right).f'\left( {u\left( x \right) + m} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u'\left( x \right) = 0\,\,\,(1)\\f'\left( {u\left( x \right) + m} \right) = 0\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

PT(1): \(u'\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 1\) và có 2 nghiệm là \(x = 0,\,x = 2\) (đều là bội lẻ).

PT(2) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u\left( x \right) + m = 1\\u\left( x \right) + m = 2\\u\left( x \right) + m = 3\end{array} \right.\).

Với \(m \in \left[ {0;6} \right],2m \in \mathbb{Z}\), ta xét giao điểm của đồ thị hàm số \(y = u\left( x \right) + m\,\,\,(C)\) với các đường thẳng \(y = 1,y = 2,y = 3\) như sau:

TH1: \(m - 1 < 1 \Leftrightarrow m < 2:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại đúng 6 điểm phân biệt, trong đó không có điểm nào có hoành độ là 0,1,2.

Khi đó: hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 9 điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Ta tìm được \(m \in \left\{ {0;\dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2}} \right\}\).

TH2: \(m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại 7 điểm phân biệt, trong đó có 6 điểm có hoành độ khác 0,1,2 và 1 điểm có hoành độ 1.

Khi đó: hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 8 điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Loại.

TH3: \(m - 2 < 1 < m - 1 < 2 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 3:\) \((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại đúng 8 điểm phân biệt, trong đó không có điểm nào có hoành độ là 0,1,2.

Khi đó: hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 11 điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Loại.

TH4: \(m - 2 = 1,\,\,m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại 7 điểm phân biệt, trong đó có 4 điểm có hoành độ khác 0,1,2 và 1 điểm có hoành độ 0, 1 điểm có hoành độ 1, 1 điểm có hoành độ 2.

Khi đó: hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 3 điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Loại.

TH5: \(1 < m - 2 < 2 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 3 < m < 4:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại đúng 6 điểm phân biệt, trong đó không có điểm nào có hoành độ là 0,1,2.

Khi đó: hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 9 điểm cực trị. \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Ta tìm được \(m = \dfrac{7}{2}\).

TH6: \(m - 2 = 2,\,m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = 4:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại 5 điểm phân biệt \( \Rightarrow \) Loại.

TH7: \(1 < 2 < m - 2 < 3 < m - 1 \Leftrightarrow m > 4:\)\((C)\) cắt 3 đường thẳng trên tại 4 điểm phân biệt \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy, tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn là: \(\left\{ {0;\dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right\}\): 5 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.