Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng: ≤

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 56390:

Cho a, b, c dương thỏa mãn $12(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}$ ≤ $\frac{1}{6}$

A. Click để xem lời giải.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:56390

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức : 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

Ta có $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ ≥ $12(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$ ≥ $4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

=> $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1)[4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3]$ ≤ 0

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ ≤ 1 (1)

Dễ dàng chứng minh được: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ ≥ 9

=> a + b + c ≥ 9 (2)

Đặt : $S=\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}$

Sử dụng bất đẳng thức : $\frac{4}{x+y}$ ≤ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ta có:

$\frac{1}{4a+b+c}=\frac{1}{3a+a+b+c}$ ≤ $\frac{1}{4}(\frac{1}{3a}+\frac{1}{a+b+c})$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link