Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Vẽ dây \(CD\) đi qua trung điểm \(I\) của \(OA\) vuông

Câu hỏi số 565465:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Vẽ dây \(CD\) đi qua trung điểm \(I\) của \(OA\) vuông góc với \(OA\).

a) Tính độ dài dây \(CD\) biết \(AB = 20cm\)

b) Trên tia đối của tia \(AO,\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = AO\). Chứng minh \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

c) Qua điểm \(I\) kẻ dây \(EF\) song song với \(MC\). Gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(A,B\) đến \(EF\). Chứng minh \(EH = FK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565465

Phương pháp giải

a) \(\Delta ICO\) vuông tại \(I \Rightarrow CI \Rightarrow CD\)

b) \(\Delta OCM\) vuông tại \(C \Rightarrow MC \bot CO \Rightarrow MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( O \right)\) có: \(AB \bot CD\) tại \(I\) mà \(AB\) là đường kính, \(CD\) là dây không đi qua tâm

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(CD\) (quan hệ đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow CI = \dfrac{1}{2}CD\)

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(OA \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{1}{2}.10 = 5cm\)

\(\Delta OIC\) vuông tại \(I\), theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,C{O^2} = C{I^2} + I{O^2}\\ \Leftrightarrow C{I^2} = C{O^2} - I{O^2}\\ \Leftrightarrow C{I^2} = {10^2} - {5^2}\\ \Leftrightarrow C{I^2} = 75\\ \Rightarrow CI = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\ \Rightarrow CD = 2CI = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array}\)

b) \(\Delta ACO\) có \(CI\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta ACO\) cân tại \(C\)

\( \Rightarrow AC = CO\) mà \(AO = CO\)

\( \Rightarrow AC = AO\)

Lại có: \(AM = AO\left( {gt} \right) \Rightarrow AM = AC = AO = \dfrac{1}{2}MO\)

\(\Delta OMC\) có: \(AM = AC = AO = \dfrac{1}{2}MO\)

\( \Rightarrow \Delta OMC\) vuông tại \(C\) (Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông)

\( \Rightarrow MC \bot CO\) mà \(C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.