Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,mx - 3y - \left( {2m - 3} \right)z - 9 = 0\) (m là

Câu hỏi số 565715:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,mx - 3y - \left( {2m - 3} \right)z - 9 = 0\) (m là tham số thực) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\). Biết rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất, khi đó khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2;3} \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng

A. \(\sqrt {11} \)

B. \(\dfrac{{13\sqrt {11} }}{{11}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {11} }}{{11}}\)

D. \(\dfrac{{2\sqrt {11} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565715

Phương pháp giải

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) phải lớn nhất.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) phải lớn nhất.

Ta có:

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {2m - 3} \right)}^2} + 9} }} = \dfrac{{\left| {m - 12} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} - 12m + 18} }} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}} \)

Xét hàm số \(f\left( m \right) = \dfrac{{{{\left( {m - 12} \right)}^2}}}{{5{m^2} - 12m + 18}}\). Khảo sát hàm số ta được \(\max f\left( m \right) = f\left( 1 \right) = 11\).

\( \Rightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\max }} = \sqrt {11} \Leftrightarrow m = 1\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x - 3y + z - 9 = 0\).

Vậy \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 6 + 3 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{13\sqrt {11} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.