Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{4}{3}\) và \(f'\left( x

Câu hỏi số 566884:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{4}{3}\) và \(f'\left( x \right) = 16\cos 4x.{\sin ^2}x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \dfrac{{15}}{{26}}\). Tính \(F\left( \pi \right)\).

A. \(\dfrac{{64}}{{27}}\).

B. \(\dfrac{{15}}{{26}}\).

C. \(\dfrac{{31}}{{18}}\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566884

Phương pháp giải

- Dùng công thức biến đổi lượng giác \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{a + b}}{2} + \cos \dfrac{{a - b}}{2}} \right)\) tìm \(f\left( x \right)\).

- Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \).

- Tính \(F\left( \pi \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,16\cos 4x.{\sin ^2}x\\ = 16\cos 4x\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)\\ = 8\cos 4x - 8\cos 4x.\cos 2x\\ = 8\cos 4x - 4\cos 6x - 4\cos 2x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {16\cos 4x.{{\sin }^2}xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {8\cos 4x - 4\cos 6x - 4\cos 2x} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sin 4x - \dfrac{2}{3}\sin 6x - 2\sin 2x + C\end{array}\)

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{ - 4}}{3} + C = \dfrac{{ - 4}}{3} \Leftrightarrow C = 0\).

Khi đó \(f\left( x \right) = 2\sin 4x - \dfrac{2}{3}\sin 6x - 2\sin 2x\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\sin 4x - \dfrac{2}{3}\sin 6x - 2\sin 2x} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{2}\cos 4x + \dfrac{{\cos 6x}}{9} + \cos 2x + C'\end{array}\)

Vậy \(F\left( \pi \right) = F\left( 0 \right) = \dfrac{{15}}{{26}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.