Với a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q

Câu hỏi số 567096:

Vận dụng cao

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567096

Giải chi tiết

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn \(a + b + c = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab} \)

\(\begin{array}{l}2a + bc = \left( {a + b + c} \right)a + bc = {a^2} + ab + ac + bc = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow 2a + bc = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \dfrac{{a + b + a + c}}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2a + bc} \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\end{array}\)

Tương tự:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2b + ca} \le \dfrac{{2b + c + a}}{2}\\\sqrt {2c + ab} \le \dfrac{{2c + a + b}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q \le \dfrac{{4a + 4b + 4c}}{2} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow Q \le \dfrac{{4.2}}{2}\\ \Leftrightarrow Q \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow {Q_{\max }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = a + c\\b + c = b + a\\c + a = c + b\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 4 khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\).

------------HẾT------------

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link