Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn : \({\left( {{x^2} + 4{y^2} + 28}

Câu hỏi số 568188:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn : \({\left( {{x^2} + 4{y^2} + 28} \right)^2} = 17\left( {{x^4} + {y^4} + 14{y^2} + 49} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568188

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn, vế còn lại là tích của các số nguyên ( Số nhân tử của hai vế bằng nhau )

\(A.B.C = m.n.p(m,n,p \in Z)\)

Ta giải các phương trình tương ứng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}A = m\\B = n\\C = p\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}A = n\\B = p\\C = m\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}A = p\\B = m\\C = n\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\quad {\left( {{x^2} + 4{y^2} + 28} \right)^2} = 17\left( {{x^4} + {y^4} + 14{y^2} + 49} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + 4\left( {{y^2} + 7} \right)} \right] = 17\left[ {{x^4} + {{\left( {{y^2} + 7} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^2}\left( {{y^2} + 7} \right) + {\left( {{y^2} + 7} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {4{x^2} - \left( {{y^2} + 7} \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right) = 7\end{array}\)

Do \(x,y\) nguyên dương nên \(2x + y \ge 2x - y\) và \(2x + y > 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 7\left( 1 \right)\\2x - y = 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow y = 2x - 1\) thay vào phương trình (2), ta được :

\(\begin{array}{l}\quad 2x + \left( {2x - 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow 2x + 2x - 1 = 7\\ \Rightarrow x = 2\\ \Rightarrow y = 3\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link