Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn : \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x

Câu hỏi số 568187:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn : \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568187

Phương pháp giải

Ta tách các biểu thức phân thức thành phần nguyên và phần phân, sau đó đánh giá phần phân để tìm ra các nghiệm của phương trình

\(x = \dfrac{{f(y)}}{{g(y)}} = k + \dfrac{c}{{g(y)}}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow c \vdots g\left( y \right) \Leftrightarrow g\left( y \right) \in U\left( c \right)\)

Giải chi tiết

\(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1\)

Ta có \(\left( {3x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = 9{x^2} - 9x + 2 = 9\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 7\)

Vì \(9\left( {{x^2} - x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right) \Rightarrow \)\(9\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 7 \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \)\(7 \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right) \in U\left( 7 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right) \in \left\{ { - 7; - 1;0;1;7} \right\}\)

+ Trường hợp 1: \({x^2} - x + 1 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} - x + 8 = 0\)

Ta có: \({x^2} - x + 8 = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{31}}{4} \ge \dfrac{{31}}{4} > 0\) \( \Rightarrow \) Vô nghiệm

+ Trường hợp 2: \({x^2} - x + 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0\)

Ta có: \({x^2} - x + 2 = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0 \Rightarrow \) Vô nghiệm

+ Trường hợp 3: \({x^2} - x + 1 = 0\)

Ta có: \({x^2} - x + 1 = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} > 0 \Rightarrow \) Vô nghiệm

+ Trường hợp 4: \({x^2} - x + 1 = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Với \(x = 0\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({y^2} = - 1\) (Vô lí)

Với \(x = 1\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({y^2} + y - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right),\left( {1; - 2} \right)} \right\}\)

+ Trường hợp 5: \({x^2} - x + 1 = 7 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 30} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = - 2\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({y^2} - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = 1\)

Với \(x = 3\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({y^2} + 3y - \dfrac{9}{7} = 0\left( * \right)\) .

Ta thấy phương \(\left( * \right)\) không có nghiệm nguyên nên loại trường hợp \(x = 3\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 2;1} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {1;1} \right),\left( {1; - 2} \right),\left( { - 2;1} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link