Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \dfrac{{2{x^2} - 8x + 17}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) (với \(x \ne

Câu hỏi số 574480:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(C = \dfrac{{2{x^2} - 8x + 17}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) (với \(x \ne 1\)).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574480

Phương pháp giải

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\) , ta cần:

- Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Các phương pháp phân tích một đa thức thành nhân từ gồm:

- Đặt nhân tử chung.

- Dùng hằng đẳng thức.

- Nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung.

- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Giải chi tiết

\(C = \dfrac{{2{x^2} - 8x + 17}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4x + 15}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4\left( {x - 1} \right) + 11}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = 2 - \dfrac{4}{{x - 1}} + \dfrac{{11}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = 11\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 2.\dfrac{2}{{11}}.\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{4}{{121}}} \right] + \dfrac{8}{{11}}\\ = 11{\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}}} \right)^2} + \dfrac{8}{{11}}\end{array}\)

Vì \({\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}}} \right)^2} \ge 0,\forall x \ne 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 11{\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}}} \right)^2} \ge 0,\forall x \ne 1\\ \Rightarrow 11{\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}}} \right)^2} + \dfrac{8}{{11}} \ge \dfrac{8}{{11}},\forall x \ne 1\\ \Rightarrow C \ge \dfrac{8}{{11}},\forall x \ne 1\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{11}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{2}{{11}}\\ \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = 11\\ \Leftrightarrow 2x - 2 = 11\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy GTNN của \(C\) là \(\dfrac{8}{{11}}\) khi \(x = \dfrac{{13}}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link