Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\). Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\)

Câu hỏi số 574479:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\). Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(M\). Trên tia \(HM\) lấy điểm \(E\) sao cho \(EH = AC\).

a) Chứng minh: Tứ giác \(ACHE\) là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác \(AHBE\) là hình chữ nhật.

c) Cho \(HC = 3cm,\;HE = 5cm\). Tính diện tích tứ giác \(AHBE.\)

d) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Tia \(HN\) cắt đường thẳng \(AE\) tại \(I\). \(MI\) cắt \(AH\) tại \(O\). Chứng minh: \(3\) điểm \(E,O,N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574479

Phương pháp giải

a) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

+ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Định lý Py – ta - go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

+ Diện tính hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) là \(a.b\)

+ Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm tam giác.

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ \(O;E;N\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow O \in EN\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(HM//AC\left( {gt} \right)\) hay \(EH//AC\)

Xét tứ giác \(ACHE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}EH//AC\left( {cmt} \right)\\EH = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ACHE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Vì \(ACHE\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow AE = CH\) (tính chất hình bình hành)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có: \(AH \bot BC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow HB = HC\)

Mà \(AE = HC\)

\( \Rightarrow AE = HB\left( 1 \right)\)

Vì \(ACHE\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow AE//HC\) hay \(AE//HB\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AHBE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(AH \bot BC\left( {gt} \right)\) hay \(AH \bot HB\) \( \Rightarrow \angle AHB = {90^0}\)

\( \Rightarrow AHBE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

c) Vì \(AHBE\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AH \bot AE\) (tính chất hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \angle EAH = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AHE\) vuông tại \(A\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta AHE\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{l}H{E^2} = A{E^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = H{E^2} - A{E^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {5^2} - {3^2}\\ = 25 - 9 = 16\end{array}\)

\( \Rightarrow AH = 4cm\)

Diện tính hình chữ nhật \(AHBE\) là: \(4.3 = 12c{m^2}\)

d) Vì \(AHBE\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow ME = MH\)(tính chất hình chữ nhật)

\( \Rightarrow IM\) là đường trung tuyến của \(\Delta HIE\).

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AM = MB\;(cmt)\\AN = NC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = \dfrac{1}{2}BC = HB = HC = AE\\MN//BC//HB//HC\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}MN//HC\left( {cmt} \right)\\AE//HC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN//AE\)

Mà \(ME = MH\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta HIE\)

\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}EI\)

Mà \(MN = AE\left( {cmt} \right)\) và \(EI = AE + AI\)

\( \Rightarrow MN = AE = AI\)

\( \Rightarrow A\) là trung điểm của \(EI\)

\( \Rightarrow HA\) là đường trung tuyến của \(\Delta HIE\)

Xét \(\Delta HIE\) có:

\(IM,HA\) là đường trung tuyến của \(\Delta HIE\) (cmt)

\(HA \cap IM = \left\{ O \right\}\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow O\) là trọng tâm \(\Delta HIE\)

Vì \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta HIE\) (cmt)

\( \Rightarrow NI = NH\)

\( \Rightarrow EN\) là đường trung tuyến của \(\Delta HIE\)

Mà \(O\) là trọng tâm \(\Delta HIE\)

\( \Rightarrow O \in EN \Rightarrow O;E;N\) thẳng hàng

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link