Giải phương trình \(x + \sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} = 3 - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \).

Câu hỏi số 576803:

Vận dụng cao

A. \(x = 0\)

B. \(x = 3\)

C. \(x = \dfrac{1}{2}\)

D. \(x = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576803

Phương pháp giải

\(f\left( x \right)\) có nghĩa \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} \,\left( {t \ge 0} \right)\) biến đổi và thay vào phương trình ban đầu sau đó giải.

Tìm được t (đối chiếu điều kiện) từ đó tìm được x hay nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

\(x + \sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} = 3 - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \)

ĐKXĐ: \(x \ge 1\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} \,\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = x + 3 + x - 1 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Rightarrow {t^2} = 2x + 2 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{t^2}}}{2} = x + 1 + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \)

\( \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = \dfrac{{{t^2}}}{2} - x - 1\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \dfrac{{{t^2}}}{2} - x - 1\)

Khi đó: \(x + t = 3 - \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - x - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 3 - \dfrac{{{t^2}}}{2} + 1 = 4 - \dfrac{{{t^2}}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\left( {tmdk} \right)\\t = - 4\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {x - 1} \, = 2\)

\( \Leftrightarrow x + 3 + x - 1 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = 4\)

\( \Leftrightarrow 2x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = 2\)

\( \Leftrightarrow x + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} = 1 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = {\left( {1 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - x + 3x - 3 = 1 - 2x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\4x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x = 1\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Kết hợp điều kiện: \(x \ge 1\), suy ra \(x = 1\) (tm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link