Xét hai số thực \(x,\,\,y\) luôn thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x + y \ge 2.\) Tìm giá trị

Câu hỏi số 576804:

Vận dụng cao

Xét hai số thực \(x,\,\,y\) luôn thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x + y \ge 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 4\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + \dfrac{8}{{x + y}} + 1\).

A. Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 15, dấu bằng xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\)

B. Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 20, dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 2.\)

C. Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 13, dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 1.\)

D. Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 18, dấu bằng xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{4}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576804

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của P

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\,\,\,\,\left( * \right)\) ta có: \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\).

Suy ra: \(P \ge 4\left( {x + y} \right) + \dfrac{8}{{x + y}} + 1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(2\left( {x + y} \right) + \dfrac{8}{{x + y}} \ge 2\sqrt {16} = 8\)

Suy ra \(P \ge \left[ {2\left( {x + y} \right) + \dfrac{8}{{x + y}}} \right] + 2\left( {x + y} \right) + 1 \ge 8 + 2.2 + 1 = 13.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 13, dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link