Chứng minh rằng \(P\left( n \right) = {n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120\) chia hết cho 24 với mọi số

Câu hỏi số 576833:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng \(P\left( n \right) = {n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120\) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên \(n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576833

Phương pháp giải

Dấu hiệu của một số chia hết cho 24

Giải chi tiết

Ta có:

\(P\left( n \right) = {n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120\)
\(\begin{array}{l} = \left( {{n^4} - 14{n^3} + 49{n^2}} \right) + 22{n^2} - 154n + 120\\ = {n^2}\left( {{n^2} - 14n + 49} \right) + 22n\left( {n - 7} \right) + 120\\ = {n^2}{\left( {n - 7} \right)^2} + 10n\left( {n - 7} \right) + 12n\left( {n - 7} \right) + 10.12\\ = n\left( {n - 7} \right)\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right] + 12\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right]\\ = \left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right]\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 12} \right]\\ = \left( {{n^2} - 7n + 10} \right)\left( {{n^2} - 7n + 12} \right)\\ = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\\ = \left( {n - 5} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\end{array}\)

Vì \(P\left( n \right)\) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn có 2 số chẵn, một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2.

Ngoài ra có ít nhất một số chia hết cho 3

Vì vậy \(P\left( n \right)\) luôn chia hết cho \(4.3.2 = 24\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link