Cho \(p\) là số nguyên tố có dạng \(4k + 3\)\(\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 576834:

Vận dụng cao

Cho \(p\) là số nguyên tố có dạng \(4k + 3\)\(\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\). Chứng minh rằng nếu \(a,b \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2}\) chia hết cho \(p\) thì \(a \vdots p\) và \(b \vdots p\). Từ đó suy ra phương trình \({x^2} + 4x + 9{y^2} = 58\) không có nghiệm nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576834

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Fermat về kiến thức đồng dư

Giải chi tiết

Giả sử \(p = 4k + 3\) và \({a^2} + {b^2}\) chia hết cho \(p\).

Nếu \(a\) và \(b\) đều không chia hết cho \(p\) thì \(\left( {a,p} \right) = \left( {b,p} \right) = 1\).

Áp dụng định lí Fermat ta có \({a^{p - 1}} \equiv 1\,\left( {\bmod \,p} \right)\) và \({b^{p - 1}} \equiv 1\,\left( {\bmod p} \right)\)

Khi đó:

\({a^{4k + 2}} + {b^{4k + 2}} \equiv 2\,\left( {\bmod p} \right)\) (1)

Mà \({a^{4k + 2}} + {b^{4k + 2}} = {\left( {{a^2}} \right)^{2k + 1}} + {\left( {{b^2}} \right)^{2k + 1}} \vdots \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \vdots p\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 \vdots p\) hay \(p = 2\) (mâu thuẫn với giả thiết \(p = 4k + 3\)) (vô lí)

Vậy \(a \vdots p\) và \(b \vdots p\) (do \({a^2} + {b^2} \vdots p\)).

Áp dụng: chứng minh phương trình \({x^2} + 4x + 9{y^2} = 58\) không có nghiệm nguyên.

Ta có: \({x^2} + 4x + 9{y^2} = 58\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 9{y^2} = 62\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {3y} \right)^2} = 62 \vdots 31\)

Lại có \(31 = 7.4 + 3\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \vdots 31\\3y \vdots 31\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} \vdots {31^2}\\{\left( {3y} \right)^2} \vdots {31^2}\end{array} \right. \Rightarrow 62 \vdots {31^2}\) (vô lí)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link