Xét các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 576835:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \dfrac{{{x^2}}}{{yz + \sqrt {1 + {x^3}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{zx + \sqrt {1 + {y^3}} }} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy + \sqrt {1 + {z^3}} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576835

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề và các bất đẳng thức để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Giải chi tiết

Áp dụng bổ đề: Với \(a,b,c > 0\) thì \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \(P \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + zx + \sqrt {1 + {x^3}} + \sqrt {1 + {y^3}} + \sqrt {1 + {z^3}} }}\)

Lại có: \(\sqrt {1 + {x^3}} = \sqrt {\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)} \le \dfrac{{2 + {x^2}}}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 2\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}P \ge 2\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {xy + yz + zx} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6}} = \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}}\\ \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 12 - 12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} = 2 - \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}}\end{array}\)

Ta có: \(x + y + z \ge 6 \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 36 \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} + 6 \ge 42\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} \le \dfrac{{12}}{{42}} = \dfrac{2}{7}\\ \Rightarrow 2 - \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} \ge 2 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{{12}}{7}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{12}}{7}\end{array}\)

Vậy \(\min \,P = \dfrac{{12}}{7}\) khi \(x = y = z = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link