Xét các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 576835:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \dfrac{{{x^2}}}{{yz + \sqrt {1 + {x^3}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{zx + \sqrt {1 + {y^3}} }} + \dfrac{{{z^2}}}{{xy + \sqrt {1 + {z^3}} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576835

Phương pháp giải

Sử dụng bổ đề và các bất đẳng thức để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Giải chi tiết

Áp dụng bổ đề: Với \(a,b,c > 0\) thì \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \(P \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + zx + \sqrt {1 + {x^3}} + \sqrt {1 + {y^3}} + \sqrt {1 + {z^3}} }}\)

Lại có: \(\sqrt {1 + {x^3}} = \sqrt {\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)} \le \dfrac{{2 + {x^2}}}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 2\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}P \ge 2\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {xy + yz + zx} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6}} = \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}}\\ \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 12 - 12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} = 2 - \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}}\end{array}\)

Ta có: \(x + y + z \ge 6 \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 36 \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} + 6 \ge 42\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} \le \dfrac{{12}}{{42}} = \dfrac{2}{7}\\ \Rightarrow 2 - \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 6}} \ge 2 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{{12}}{7}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{12}}{7}\end{array}\)

Vậy \(\min \,P = \dfrac{{12}}{7}\) khi \(x = y = z = 2\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link