Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và

Câu hỏi số 577836:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z - 4i} \right)\left| = \right|z + 4i{|^2}\) ?

A. 3 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577836

Phương pháp giải

Phân tích dữ kiện đề bài có \(|z + 4i{|^2} = \left| {\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z - 4i} \right)\left| = \right|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline {z + 4i} } \right)\left| = \right|z - 4} \right|\left| {\overline {z + 4i} \left| = \right|z - 4} \right|\left| {z + 4i} \right|\).

Suy ra \(\left| {z + 4i} \right| = 0\) hoặc \(\left| {z + 4i\left| = \right|z - 4} \right|\).

Từ đó tìm được số phức \(z\).

Giải chi tiết

Ta có \(|z + 4i{|^2} = \left| {\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z - 4i} \right)\left| = \right|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline {z + 4i} } \right)\left| = \right|z - 4} \right|\left| {\overline {z + 4i} \left| = \right|z - 4} \right|\left| {z + 4i} \right|\).

Suy ra \(\left| {z + 4i} \right| = 0\) hoặc \(\left| {z + 4i\left| = \right|z - 4} \right|\).

Nếu \(\left| {z + 4i} \right| = 0\) thì \(z = - 4i:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z^2}} \right| = |4i{|^2} = 16}\\{2\left| {z - \overline z \left| { = 2} \right| - 8i} \right| = 16}\end{array}} \right.\) thỏa mãn.

Nếu \(\left| {z + 4i\left| = \right|z - 4} \right|\) thì đặt \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\) ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + {{(y + 4)}^2}} = \sqrt {{{(x - 4)}^2} + {y^2}} }\\{{x^2} + {y^2} = 4\left| y \right|}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - y}\\{2|y{|^2} = 4\left| y \right|}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x = 0}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{x = - 2}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - 2}\\{x = 2.}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn là \(0,2 - 2i, - 2 + 2i, - 4i\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.