Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{ln}}f\left( x \right)\) có

Câu hỏi số 577835:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{ln}}f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {5;6} \right)\).

B. \(\left( {4;5} \right)\).

C. \(\left( {2;3} \right)\).

D. \(\left( {3;4} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577835

Phương pháp giải

- Ta có được \(\text{S}=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x\).

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(f'\left( x \right)\) và \(g'\left( x \right)\) từ đó tính được tích phân trên các khoảng.

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = {e^{g\left( x \right)}}\).

Từ bảng biến thiên suy ra: \(g\left( x \right) \ge {\rm{ln}}2 \Rightarrow {e^{g\left( x \right)}} \ge {e^{{\rm{ln}}2}} = 2\).

+) \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right){e^{g\left( x \right)}}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f'\left( x \right)\) và \(g'\left( x \right)\) :

\(f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right){e^{g\left( x \right)}} - g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right)\left( {{e^{g\left( x \right)}} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = {x_2}.}\\{x = {x_3}}\end{array}.} \right.\)

Mặt khác từ bảng biến thiên ta cũng có: .

Suy ra:

\(\text{S}=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}\left| {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}\left| {g}'\left( x \right){{e}^{g\left( x \right)}}-{g}'\left( x \right) \right|\text{d}x=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}\left| {g}'\left( x \right)\left( {{e}^{g\left( x \right)}}-1 \right) \right|\text{d}x\)

\(~=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{g}'\left( x \right)\left( {{e}^{g\left( x \right)}}-1 \right)\text{d}x-\mathop{\int }_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{g}'\left( x \right)\left( {{e}^{g\left( x \right)}}-1 \right)\text{d}x\)

\(=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}\left( {{e}^{g\left( x \right)}}-1 \right)\text{d}\left( g\left( x \right) \right)-\mathop{\int }_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}\left( {{e}^{g\left( x \right)}}-1 \right)\text{d}\left( g\left( x \right) \right)\)

\(=\left. \left( {{e}^{g\left( x \right)}}-g\left( x \right) \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}-\left. \left( {{e}^{g\left( x \right)}}-g\left( x \right) \right) \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}\)

\( = \left[ {{e^{g\left( {{x_2}} \right)}} - g\left( {{x_2}} \right) - {e^{g\left( {{x_1}} \right)}} + g\left( {{x_1}} \right)} \right] - \left[ {{e^{g\left( {{x_3}} \right)}} - g\left( {{x_3}} \right) - {e^{g\left( {{x_2}} \right)}} + g\left( {{x_2}} \right)} \right]\)

\(\; = 2{e^{g\left( {{x_2}} \right)}} - {e^{g\left( {{x_1}} \right)}} - {e^{g\left( {{x_3}} \right)}} - 2g\left( {{x_2}} \right) + g\left( {{x_1}} \right) + g\left( {{x_3}} \right)\)

\( = 2.6 - \dfrac{{43}}{8} - 2 - 2{\rm{ln}}6 + {\rm{ln}}\dfrac{{43}}{8} + {\rm{ln}}2 = \dfrac{{37}}{8} + {\rm{ln}}\dfrac{{43}}{{144}} \approx 3,416\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.