Chứng minh rằng: \(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{{{4^2}}} + \dfrac{3}{{{4^3}}} + ... + \dfrac{{2019}}{{{4^{2019}}}}

Câu hỏi số 578875:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: \(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{{{4^2}}} + \dfrac{3}{{{4^3}}} + ... + \dfrac{{2019}}{{{4^{2019}}}} < \dfrac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578875

Phương pháp giải

\(S = {a^0} + {a^1} + {a^2} + ... + {a^n}\)

+ Tạo ra một dãy mới gần giống dãy trên bằng cách nhân 2 vế của dãy trên với cơ số \(a\)

+ Ta được dãy mới có dạng \(aS = {a^1} + {a^2} + {a^3} + ... + {a^{n + 1}}\)

+ Ta thấy dãy mới này có 1 đoạn từ \({a^1} + ... + {a^n}\) là giống với dãy ban đầu

+ Lấy 2 vế của dãy mới trừ tương ứng với 2 vế của dãy ban đầu ta được \(\left( {a - 1} \right)S = {a^{n + 1}} - {a^0}\)

+ Vậy \(S = \dfrac{{{a^{n + 1}} - {a^0}}}{{a - 1}}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}4S = 1 + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{{2019}}{{{4^{2018}}}}\\4S - S = 3S = 1 + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{{2019}}{{{4^{2018}}}} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{{{4^2}}} - ... - \dfrac{{2018}}{{{4^{2018}}}} - \dfrac{{2019}}{{{4^{2019}}}}\\\quad \quad \quad \quad \;\;\; = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^{2018}}}} - \dfrac{{2019}}{{{4^{2019}}}}\end{array}\)

Đặt \(A = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^{2018}}}} - \dfrac{{2019}}{{{4^{2019}}}}\)

\(\begin{array}{l}4A = 4 + 1 + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{{4^{2017}}}} - \dfrac{{2019}}{{{4^{2018}}}}\\ \Rightarrow 4A - A = 3A = 4 - \dfrac{{2018}}{{{4^{2018}}}} < 4\\ \Rightarrow A < \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3S < \dfrac{4}{3}\\ \Rightarrow S < \dfrac{4}{9} < \dfrac{1}{2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link