Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{7^2}}} + ... +

Câu hỏi số 578874:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{7^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578874

Phương pháp giải

+ Các tính tổng \(S = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}}\)

+ Muốn chứng minh tổng liên tiếp lớn hơn 1 giá trị \(k\) nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn và ngược lại

Giải chi tiết

+ Đặt \(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{7^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)

+ Ta chứng minh \(A > \dfrac{1}{6}\)

\(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{7^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{99}^2}}} + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{{5.5}} + \dfrac{1}{{6.6}} + \dfrac{1}{{7.7}} + ... + \dfrac{1}{{99.99}} + \dfrac{1}{{100.100}}\\ > \dfrac{1}{{5.6}} + \dfrac{1}{{6.7}} + \dfrac{1}{{7.8}} + ... + \dfrac{1}{{99.100}} + \dfrac{1}{{100.101}}\\ > \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{100}} - \dfrac{1}{{101}}\\ > \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{101}} = \dfrac{{96}}{{505}}\end{array}\)

Ta so sánh \(\dfrac{{96}}{{505}}\) và \(\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{1}{6} = \dfrac{{96}}{{576}} < \dfrac{{96}}{{505}}\). Suy ra \(\dfrac{{96}}{{505}} > \dfrac{1}{6}\) hay \(A > \dfrac{1}{6}\left( 1 \right)\)

+ Ta chứng minh \(A < \dfrac{1}{4}\)

\(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{7^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{99}^2}}} + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{{5.5}} + \dfrac{1}{{6.6}} + \dfrac{1}{{7.7}} + ... + \dfrac{1}{{99.99}} + \dfrac{1}{{100.100}}\\ < \dfrac{1}{{4.5}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \dfrac{1}{{6.7}} + ... + \dfrac{1}{{98.99}} + \dfrac{1}{{99.100}}\\ < \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{{98}} - \dfrac{1}{{99}} + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\\ < \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{100}} < \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Suy ra \(A < \dfrac{1}{4}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link