Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường kính AD. Tiếp tuyến của
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường kính AD. Tiếp tuyến của đường tròn tại (O) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh hai tam giác ABC và AFE đồng dạng với nhau.
b) Gọi I là trung điểm của EF và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, I thẳng hàng.
Quảng cáo
a) \(\Delta ABC \sim \Delta AFE\,\,\left( {g.g} \right)\)
b) \(\angle IAE = \angle ACB\); \(\angle IAE = \angle KAB\) suy ra A, K, I thẳng hàng
a) Chứng minh hai tam giác ABC và AFE đồng dạng với nhau.
EF là tiếp tuyến của (O) tại D nên \(AD \bot EF\) tại D.
Tam giác ADF vuông tại D nên \(\angle AFD + \angle FAD = {90^0}\)
Mà \(\angle FAD + \angle OAB = \angle BAC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle AFD = \angle OAB\).
Tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA\) (2 góc ở đáy)
\( \Rightarrow \angle AFD = \angle OBA\) hay \(\angle AFE = \angle ABC\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AFE\) có:
\(\begin{array}{l}\angle EAF\,\,chung;\\\angle ABC = \angle AFE\,\,\left( {cmt} \right);\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta AFE\,\,\left( {g.g} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) Gọi I là trung điểm của EF và K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, I thẳng hàng.
Xét tam giác vuông AEF có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền EF \( \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}EF = IE = IF\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
\( \Rightarrow \Delta IAE\) cân tại I \( \Rightarrow \angle IAE = \angle IEA = \angle AEF\).
Mà \(\Delta ABC \sim \Delta AFE\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AEF = \angle ACB\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow \angle IAE = \angle ACB\).
Lại có \(\angle ACB = \angle KAB\) (cùng phụ với \(\angle ABC\))
\( \Rightarrow \angle IAE = \angle KAB\).
Vậy A, K, I thẳng hàng (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
