Qua điểm \(M\) vẽ \(n\) đường thẳng phân biệt. a) Biết \(n = 46\). Hỏi có bào nhiều cặp góc

Câu hỏi số 583306:

Vận dụng

Qua điểm \(M\) vẽ \(n\) đường thẳng phân biệt.

a) Biết \(n = 46\). Hỏi có bào nhiều cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt.

b) Biết có \(2450\) cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt. Tính \(n\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583306

Phương pháp giải

+ Số góc nhỏ hơn góc bẹt tạo bởi \(n\) đường thẳng đi qua một điểm là: \(\dfrac{{2n\left( {2n - 2} \right)}}{2} = n\left( {2n - 2} \right)\)

+ Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh

+ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Có 46 đường thẳng đi qua điểm M tạo thành 46.2 = 92 tia chung gốc M.

Mỗi tia tạo với 91 tia còn lại được 91 (góc)

Suy ra 92 tia sẽ có 92.91 = 8372 (góc)

Khi đó mỗi góc được tính 2 lần nên ta có \(\dfrac{{8372}}{2} = 4186\) (góc)

Trong 4140 góc tạo thành, có 46 góc bẹt và 4186 – 46 = 4140 góc khác góc bẹt

Mỗi góc đều có một góc đối đỉnh.

Nên số cặp góc đối đỉnh là: \(\dfrac{{4140}}{2} = 2070\) (cặp góc đối đỉnh)

Vậy có 2070 cặp góc đối đỉnh khác góc bẹt (hay gọi là nhỏ hơn góc bẹt).

Bài toán tổng quát: Có \(n\) đường thẳng cắt nhau tại \(A\) nên có \(2n\) tia chung gốc \(A\)

Mỗi tia tạo với \(2n - 1\) tia còn lại tạo thành \(2n - 1\) góc

Nên \(2n\) tia sẽ có \(2n\)(\(2n - 1\)) góc

Do mỗi góc được tính 2 lần nên số góc tạo thành từ \(n\) đường thẳng cắt nhau tại \(A\) là:

\(\dfrac{{2n(2n - 1)}}{2} = n(2n - 1)\) góc.

Trong \(n(2n - 1)\) góc tạo thành có số góc khác góc bẹt là: \(n(2n - 1) - n = n(2n - 2)\) (góc)

Mỗi góc đều có một góc đối đỉnh nên số cặp góc đối đỉnh tạo từ \(n\) đường thẳng cắt nhau tại \(A\) là:

\(\dfrac{{n(2n - 2)}}{2} = \dfrac{{2{n^2} - 2n}}{2} = {n^2} - n\)

b) Biết có 2450 cặp góc đối đỉnh khác góc bẹt, theo tổng quát ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} - n = 2450\\n(n - 1) = 50.49\\n(n - 1) = 50.(50 - 1)\\ \Rightarrow n = 50\end{array}\)

Vậy qua điểm M có 50 đường thẳng phân biệt.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link