Một đoạn thép dài 16m được uốn thành đường khép kín (S) bao gồm hai cạnh AB, CD của hình

Câu hỏi số 587191:

Vận dụng

Một đoạn thép dài 16m được uốn thành đường khép kín (S) bao gồm hai cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD và hai nửa cung tròn đường kính BC, AD (hình vẽ). Tính độ dài cạnh AD khi diện tích hình phẳng (S) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(\dfrac{{16}}{{3\pi }}\).

B. \(\dfrac{8}{{3\pi }}\).

C. \(\dfrac{4}{{3\pi }}\).

D. \(\dfrac{{32}}{{3\pi }}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587191

Phương pháp giải

- Biểu diễn các diện tích hình phẳng theo a, b.

- Tìm quan hệ giữa a, b.

- Biểu diễn diện tích (S) theo một biến và tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Đặt AD = 2a, AB = b.

Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2ab\)

Diện tích của hai nửa đường tròn là \({S_1} = \pi {a^2}\)

Do đó diện tích hình phẳng \(\left( S \right)\) là \(S = {S_{ABCD}} - {S_1} = 2ab - \pi {a^2}\)

Theo bài ra ta có \(2\pi a + 2b = 16 \Rightarrow 2b = 16 - 2\pi a\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = a\left( {16 - 2\pi a} \right) - \pi {a^2}\\\,\,\,\, = 16a - 3\pi {a^2} = - \pi \left( {3{a^2} - \dfrac{{16a}}{\pi }} \right)\\\,\,\,\, = - \pi \left( {3{a^2} - 2.\sqrt 3 a.\dfrac{8}{{\sqrt 3 \pi }} + \dfrac{{64}}{{3{\pi ^2}}}} \right) + \dfrac{{64}}{{3\pi }}\\\,\,\,\, = - \pi {\left( {a\sqrt 3 - \dfrac{8}{{\pi \sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{{64}}{{3\pi }} \le \dfrac{{64}}{{3\pi }}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a\sqrt 3 = \dfrac{8}{{\pi \sqrt 3 }} \Leftrightarrow a = \dfrac{8}{{3\pi }} \Leftrightarrow AD = 2a = \dfrac{{16}}{{3\pi }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.