Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + m + 1\,\,\left( 1 \right)\) với m là tham số, \(m \in

Câu hỏi số 587190:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + m + 1\,\,\left( 1 \right)\) với m là tham số, \(m \in \mathbb{R}\). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

A. \(m = 0\).

B. \(m = - 1\).

C. \(m = 1\).

D. \(m = - 3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587190

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị: Hàm bậc bốn trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 điểm cực trị khi ab < 0.

- Tìm tọa độ 3 điểm cực trị.

- Tính nửa chu vi, diện tích của tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị.

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác S = pr từ đó tìm được m.

Giải chi tiết

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì \( - 2\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m + 1} \right)x\)

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {m + 1} \,\,\left( {m > - 1} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = m + 1 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right)\)

Với \(x = \pm \sqrt {m + 1} \Rightarrow y = - {m^2} - m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - \sqrt {m + 1} , - {m^2} - m} \right)\\C\left( {\sqrt {m + 1} , - {m^2} - m} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^4} + m + 1} \\AC = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^4} + m + 1} \\BC = 2\sqrt {m + 1} \end{array} \right.\)

Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \sqrt {m + 1} + \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^4} + m + 1} \).

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {0; - {m^2} - m} \right)\). Vì tam giác ABC cân tại A nên \(AH \bot BC\).

Ta có: \(AH = \sqrt {{{\left( { - {m^2} - 2m - 1} \right)}^2}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\).

Diện tích \(\Delta ABC\) là \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.{\left( {m + 1} \right)^2}.2\sqrt {m + 1} = {\left( {m + 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}}\).

Theo giả thiết \(S = pr = p.1\)

\( \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}} = \sqrt {m + 1} + \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^4} + m + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}} = {\left( {m + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\left( {1 + \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^3} + 1} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 1 + \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^3} + 1} \\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^3} + 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m \ge 0\\{m^4} + 4{m^3} + 4{m^2} = {m^3} + 3{m^2} + 3m + 1 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m \ge 0\\{m^4} + 3{m^3} + {m^2} - 3m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m \ge 0\\\left( {m - 1} \right){\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ban đầu m > -1 thì chỉ có m = 1 thỏa mãn.

Chú ý khi giải

Có thể sử dụng công thức giải nhanh: Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \dfrac{{{b^2}}}{{4\left| a \right|\left( {1 + \sqrt {1 - \dfrac{{{b^3}}}{{8a}}} } \right)}}\).

Áp dụng đối với bài toán đã cho, a = 1, b = -2(m + 1), c = m + 1 ta có:

\(\begin{array}{l}r = \dfrac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{4.1\left( {1 + \sqrt {1 + \dfrac{{8{{\left( {m + 1} \right)}^3}}}{{8.1}}} } \right)}} = \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{1 + \sqrt {1 + {{\left( {m + 1} \right)}^3}} }} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 1 + \sqrt {1 + {{\left( {m + 1} \right)}^3}} \end{array}\)

Đến đây các em tiếp tục giải như trong phần lời giải chi tiết đã hướng dẫn và tìm được m = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.