Cho tứ diện ABCD có \(\Delta ABC\) cân tại A, góc A nhọn, BC = 4. Biết \(DA = DB = DC = \dfrac{{25\sqrt 7
Cho tứ diện ABCD có \(\Delta ABC\) cân tại A, góc A nhọn, BC = 4. Biết \(DA = DB = DC = \dfrac{{25\sqrt 7 }}{{21}}\) và cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc \({30^0}\). Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên (ABC). Chứng minh IA = IB = IC.
- Gọi \(O = AI \cap BC\). Vì tam giác ABC cân tại A nên O là trung điểm của BC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính IA, IB, IC, DI.
- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OIC tính IO, từ đó tính AO = AI + IO.
- Tính thể tích của khối tứ diện \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DI.{S_{ABC}}\).
Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên (ABC).
Gọi \(O = AI \cap BC\). Vì tam giác ABC cân tại A nên O là trung điểm của BC.
\( \Rightarrow OB = OC = \dfrac{1}{2}BC = 2\)
Vì DA = DB = DC nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => IA = IB = IC.
Ta có: \(\left( {DA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {DA,IA} \right) = \angle DAI = {30^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow IA = IB = IC = DA\cos {30^0} = \dfrac{{25\sqrt 7 }}{{21}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{25\sqrt {21} }}{{42}}\\\,\,\,\,\,\,DI = DA.\sin {30^0} = \dfrac{{25\sqrt 7 }}{{21}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{25\sqrt 7 }}{{42}}\end{array}\).
Xét tam giác vuông IOC có: \(IO = \sqrt {I{C^2} - C{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25\sqrt {21} }}{{42}}} \right)}^2} - {2^2}} = \dfrac{{17\sqrt {21} }}{{42}}\)
Do đó \(AO = AI + IO = \dfrac{{25\sqrt {21} }}{{42}} + \dfrac{{17\sqrt {21} }}{{42}} = \sqrt {21} \).
Khi đó ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AO.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt {21} .4 = 2\sqrt {21} \).
Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DI.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{25\sqrt 7 }}{{42}}.2\sqrt {21} = \dfrac{{25\sqrt {147} }}{{63}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
