Gọi S là tổng các nghiệm trên \(\left[ {0;100\pi } \right]\) của phương trình \(\sqrt {{{\left( {17 -

Câu hỏi số 587201:

Vận dụng cao

Gọi S là tổng các nghiệm trên \(\left[ {0;100\pi } \right]\) của phương trình \(\sqrt {{{\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} + \sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} = 6\). Tính \(S\).

A. \(S = 5500\pi \).

B. \(S = 5050\pi \).

C. \(S = 5005\pi \).

D. \(S = 5550\pi \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587201

Phương pháp giải

- Chú ý: \(17 - 12\sqrt 2 = \dfrac{1}{{17 + 12\sqrt 2 }}\)

- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} \), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình tìm t.

- Chú ý: \(17 + 12\sqrt 2 = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^2}\), từ nghiệm t giải tìm nghiệm x.

- Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, chặn nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right).\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)^{\cos x}}.{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)^{\cos }} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} .\sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos }}} = 1\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} = \dfrac{1}{t}\).

Khi đó phương trình đã cho trở thành \(\dfrac{1}{t} + t = 6\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 + 2\sqrt 2 \\t = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} = 3 + 2\sqrt 2 \,\\\sqrt {{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)}^{\cos x}}} = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Lại có \(17 + 12\sqrt 2 = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^2}\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\cos x}} = 3 + 2\sqrt 2 \,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\cos x}} = 3 - 2\sqrt 2 \,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Giải \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\cos x}} = 3 + 2\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Ta có \(0 \le k2\pi \le 100\pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 50\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;...;50} \right\}\)

Giải \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\cos x}} = 3 - 2\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\cos x}} = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \cos x = - 1\\ \Leftrightarrow \cos x = \pi + 2l\pi \,\,\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Ta có \(0 \le \left( {2l + 1} \right)\pi \le 100\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le l \le \dfrac{{99}}{2}\)

Mà \(l \in \mathbb{Z} \Rightarrow l \in \left\{ {0;1; \ldots ;49} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm trên \(\left[ {0;100\pi } \right]\) là \(\sum\limits_{k = 0}^{50} {k2\pi } + \sum\limits_{l = 0}^{49} {\left( {\pi + l2\pi } \right)} = 5050\pi \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.