Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C’D’. Điểm P thuộc cạnh B’B sao cho \(\dfrac{{BP}}{{BB'}} = \dfrac{2}{3}\) (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối A’D’BD bằng 20, thể tích khối tứ diện A’MNP bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên (ABC).
- Gọi \(O = AI \cap BC\). Vì tam giác ABC cân tại A nên O là trung điểm của BC.
- Tính AO.
- Tính thể tích của khối tứ diện.
Giả sử AB = a, BC = b, BB’ = c.
Gọi \(F = A'N \cap B'C'\)
Ta có: \({S_{PMF}} = {S_{BCC'B'}} + {S_{HC'F}} - {S_{BMP}} - {S_{MCH}} - {S_{PB'F}}\)
Lại có: \(N\) là trung điểm của \(C'D'\) nên \(B'F = 2B'C' = 2b\)
Hơn nữa \(B'P = \dfrac{1}{3}B'B = \dfrac{c}{3}\)
Khi đó \({S_{PB'F}} = \dfrac{1}{2}B'P.B'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{c}{3}.2b = \dfrac{{bc}}{3}\)
Ta có: \({S_{BMP}} = \dfrac{2}{3}{S_{B'BM}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}{S_{BCC'B'}} = \dfrac{1}{6}bc\)
Lại có: \(\dfrac{{CH}}{{C'H}} = \dfrac{{MC}}{{C'F}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\)
Do đó \({S_{MCH}} = \dfrac{1}{3}{S_{MCC'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}{S_{BCC'B'}} = \dfrac{1}{{12}}bc\)
Mặt khác \(HC' = \dfrac{2}{3}CC' = \dfrac{2}{3}c\)
\( \Rightarrow {S_{HC'F}} = \dfrac{1}{2}HC'.C'F = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2c}}{3}.b = \dfrac{{bc}}{3}\)
Vậy \({S_{PMF}} = bc + \dfrac{{bc}}{3} - \dfrac{{bc}}{6} - \dfrac{{bc}}{{12}} - \dfrac{{bc}}{3} = \dfrac{3}{4}bc\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'B' = a\\d\left( {N,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = NC' = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}{V_{A'MNP}} = {V_{A'PMF}} - {V_{NPMF}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{PMF}} - \dfrac{1}{3}d\left( {N,\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{PMF}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{3}{4}bc - \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{3}{4}bc = \dfrac{1}{8}abc = \dfrac{1}{8}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\end{array}\)
Lại có: \({V_{BA'D'D}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.AA'D'D}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{BB'AA'D'D}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 20.6 = 120\\ \Rightarrow {V_{A'MNP}} = \dfrac{1}{8}.120 = 15\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
